Notas de Mecânica/Definição do Centro de Massa: diferenças entre revisões
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Linha 145:
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z_{CM} = \frac{1}{M} \displaystyle \sum_{i=1}^{N} m_i z_i
\end{cases}
</math>
Se o centro de massa do sistema se mover podemos calcular a velocidade do centro de massa pelo mesmo procedimento que adotamos no calculo da velocidade de uma partícula única isto é pela expressão:
<math>\vec{v}_{CM} = \frac{d \vec{r_{CM}}}{dt}</math>
se usarmos a expressão para o CM da partítula em termos da posição de cada partícula teremos:
<math>\vec{v}_{CM} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{r}_i \right) </math>
Usando o fato das derivada da soma ser a soma das derivadas e também o fato que as massas das partículas não variarem no tempo teremos:
<math>\vec{v}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N}m_i\frac{d\vec{r}_i}{dt} </math>
Ora, bem sabemos que <math>\frac{d\vec{r}_i}{dt} </math> é a velocidade da partícula <math>i</math> desta forma obtemos que:
:<math>\vec{v}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v}_i </math>
O mesmo tipo de raciocinio podemos fazer para obtemos a aceleração do CM :
<math>\vec{a}_{CM} = \frac{d \vec{v_{CM}}}{dt}</math>
se usarmos a expressão para a velocidade do CM da partítula que acabamos de obter:
:<math>\vec{a}_{CM} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v}_i \right) </math>
:<math>\vec{a}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N}m_i\frac{d\vec{v}_i}{dt} </math>
Uma vez mais podemos usar o que estudamos na parte de cinemática de uma única partícula ao identificar <math>\frac{d\vec{v}_i}{dt} </math> como a aceleração da partícula <math>i</math>, logo:
:<math>\vec{a}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{a}_i </math>
Novamente chamamos a atenção quanto a natureza vetorial das expressões da velocidade e da aceleração do CM, e igualmente ao que fizemos com o vetor posição centro de massa podemos agora escrever as coordenadas dos vetores velocidade e aceleração do CM do sistema:
<math>\vec{v}_{CM} =\frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v}_i \Longrightarrow \begin{cases}
v_{CM,x} = \frac{1}{M} \displaystyle \sum_{i=1}^{N} m_i v_{i,x} \\
\\
v_{CM,y} = \frac{1}{M} \displaystyle \sum_{i=1}^{N} m_i v_{i,y} \\
\\
v_{CM,z} = \frac{1}{M} \displaystyle \sum_{i=1}^{N} m_i v_{i,z}
\end{cases}
</math> \qquad ; \qquad
<math>\vec{a}_{CM} =\frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v}_i \Longrightarrow \begin{cases}
a_{CM,x} = \frac{1}{M} \displaystyle \sum_{i=1}^{N} m_i a_{i,x} \\
\\
a_{CM,y} = \frac{1}{M} \displaystyle \sum_{i=1}^{N} m_i a_{i,y} \\
\\
a_{CM,z} = \frac{1}{M} \displaystyle \sum_{i=1}^{N} m_i a_{i,z}
\end{cases}
</math>
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