Notas de Mecânica/Momentum de Inércia: diferenças entre revisões
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A unidade desta quantidade no SI é o <math>kg \,m^2</math>
== Propriedades do Momentum de inércia ==
O exemplo a seguir tem por intuito exemplificar uma das características do momentum de inércia:
Consideremos um corpo que é composto por duas partículas de massa <math>m_1 =5kg</math> e <math>m_2 =15kg</math> que estão conectadas por uma haste fina
e sem massa de comprimento <math>L = 10m</math>.
[[File:Mom_inercia_exemp0.svg |center|200px]]
a) Qual é o momentum de inércia do corpo considerando um eixo de rotação que passa pela partícula 1 e é perpendicular a haste?
[[File:Mom_inercia_exemp1.svg |center|200px]]▼
:<math>I = m_1r_1^2 + {\color{red} m_2 r_2^2}</math>
:<math>I = 5(0)^2 + {\color{red} 15 (10)^2}</math>
:<math>I = 150kg\, m^2</math>
▲[[File:Mom_inercia_exemp1.svg |center|200px]]
b) Qual é o momentum de inércia do corpo considerando um eixo de rotação que passa pela partícula 2 e é perpendicular a haste?
[[File:Mom_inercia_exemp2.svg |center|200px]]▼
:<math>I = m_1r_1^2 + {\color{red} m_2 r_2^2}</math>
:<math>I = 5(10)^2 + {\color{red} 15 (0)^2}</math>
:<math>I = 50kg\, m^2</math>
Resumindo os dois casos :
[[File:Mom_inercia_exemp1.svg |center|200px]] <math>I = 150kg\, m^2</math>
[[File:Mom_inercia_exemp2.svg |center|200px]]<math>I = 50kg\, m^2</math>
▲[[File:Mom_inercia_exemp2.svg |center|200px]]
Notamos que um mesmo corpo pode ter momenta de inércia diferentes dependendo do eixo em torno do qual estamos girando o corpo. No exemplo anterior a inércia rotacional é maior em torno do eixo que passa pela partícula 1 do que o eixo que passa pela partícula 2, ou seja:
O momentum de inércia é uma quantidade que depende do eixo que estamos girando o corpo.
Uma pergunta natural que podemos fazer agora é:
Em torno de que eixo a inércia rotacional possivel? Será o eixo que passa pela partícula 2 realmente a menor?
Para responder esta pergunta consideremos um caso genérico.
[[File:Mom_inercia_exempgeral.svg |center|200px]]
Cosideremos um eixo de rotação genérico distante <math>x</math> da partícula 1
e perpendicular a haste.
a) Qual é o momentum de inércia em torno deste eixo genérico.
:<math>I = m_1r_1^2 + {\color{red} m_2 r_2^2}</math>
:<math>I = m_1x^2 + {\color{red} m_2 (L-x)^2}</math>
:<math>I = m_1x^2 + {\color{red} m_2 (L^2-2Lx + x^2)} </math>
b) Para qual valor de <math>x</math> teremos um mínimo de <math>I = I(x)</math>?
Usaremos as condições de mínimo que você aprendeu nas suas aulas de cálculo:
:<math>\frac{dI}{dx}= 0</math>
:<math>\frac{d^2I}{dx^2}> 0 </math>
:<math>\frac{dI}{dx}= 0 \Rightarrow \frac{d (m_1x^2 + {\color{red} m_2 (L^2-2Lx + x^2)} )}{dx}= 0</math>
:<math> 2m_1x + {\color{red} m_2 (-2L + 2x)} =0</math>
:<math>x = \frac{m_2 L}{m_1+ m_2}</math>
:<math>\frac{d^2I}{dx^2} = \frac{d( 2m_1x + {\color{red} m_2 (-2L + 2x)})}{dx} =2m_1 +{\color{red} 2m_2 } > 0</math>
Logo o <math>x</math> calculado é realmente um mínimo
:<math>x = \frac{m_2 L}{m_1+ m_2} \Rightarrow I = I_{minimo}</math>
Notemos que este valor de <math>x</math> é a posição do centro de massa colocando nossa origem sobre a partícula 1:
Lembremos que a posição do CM de um sistema de partícula é dado por
:<math>x_{CM} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2} \Rightarrow x_{CM} = \frac{m_10 + m_2L}{m_1 + m_2}</math>
''' Logo podemos concluir que o eixo que nos dá o menor momentum de inércia possível é aquele que passa pelo centro de massa do corpo.'''
E para nosso exemplo este momento de inércia mínimo é:
:<math>I = m_1x^2 + {\color{red} m_2 (L-x)^2}</math>
:<math>I = m_1(\frac{m_2 L}{m_1+ m_2})^2 + {\color{red} m_2 (L-\frac{m_2 L}{m_1+ m_2})^2}</math>
:<math>I = m_1(\frac{m_2 L}{m_1+ m_2})^2 + {\color{red} m_2 (\frac{m_1 L}{m_1+ m_2})^2}</math>
:<math>I = \frac{ L^2 (m_1m_2^2+ m_2m_1^2)} {(m_1+ m_2)^2}</math>
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