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Matemática elementar/Trigonometria/Funções trigonométricas: diferenças entre revisões

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{{revisão}} <!-- a formatação ficou uma bela porcaria //-->
 
== Definição ==
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|}
 
Tais funções são constantes para um mesmo ângulo &alpha;, pois dois triângulos formados pelos mesmos ângulos mantêm suas proporções.
== Paridade ==
A função Seno é uma função ímpar, pois sen (-x)= -sen x, qualquer que seja x pertencente R.
A função Co-seno é uma função par, pois cos (-x)= cos x, qualquer que seja x pertencente a R.
A função Tangente é uma função ímpar pois é o quociente de uma função ímpar e uma função par:
tg (-x)= -tg x, qualquer que seja x pertencente ao domínio.
A função Co-tangente é uma função de período pi.
 
As funções trigonométricas são utilizadas em geometria, portanto, para determinar um lado ou um ângulo de um triângulo.
== Ângulos notáveis ==
{|
|[[Imagem:Unit circle angles.svg|350px|right]]
Veja abaixo uma tabela com os valores mais importantes das funções trigonométricas.
 
{{ênfase| '''Exemplo''' - A hipotenusa de um triângulo retângulo de ângulos 30° e 60° é igual a 5 centímetros. Qual à medida do cateto oposto ao ângulo de 30°?
{| border="1" cellpadding="2"
:<math> \sen \alpha = \frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{hipotenusa}} \to \sen 30 = \frac { \mbox{cateto oposto}} {5} \to 0,5 = \frac { \mbox{cateto oposto}} {5} \to \mbox{cateto oposto} = 2,5 </math>}}
 
== Seno, cosseno e tangente dos ângulos ==
Na tabela abaixo, temos o seno, cosseno e tangente dos principais ângulos em decimais:
{| class="wikitable" width="100%"
!
! 0°
! 5°
! 10°
! 15°
! 20°
! 25°
! 30°
! 35°
! 40°
! 45°
! 50°
! 55°
! 60°
! 65°
! 70°
! 75°
! 80°
! 85°
! 90°
|-
! Seno
|<math>\theta\,</math> || <math>rad\,</math> || <math>\mathrm{sen}\, \theta\,</math> || <math>\cos \theta\,</math> || <math>\tan \theta\,</math>
| 0
| 0,08
| 0,17
| 0,25
| 0,34
| 0,42
| 0,5
| 0,57
| 0,64
| 0,7
| 0,76
| 0,81
| 0,86
| 0,9
| 0,93
| 0,96
| 0,98
| 0,99
| 1
|-
! Cosseno
|<math>0^\circ</math> || 0 || 0 || 1 || 0
| 1
| 0,99
| 0,98
| 0,96
| 0,93
| 0,9
| 0,86
| 0,81
| 0,76
| 0,7
| 0,64
| 0,57
| 0,5
| 0,42
| 0,34
| 0,25
| 0,17
| 0,08
| 0
|-
! Tangente
|<math>30^\circ</math> || <math>\frac{\pi}{6}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>
| 0
| 0,08
| 0,17
| 0,26
| 0,36
| 0,46
| 0,57
| 0,7
| 0,83
| 1
| 1,19
| 1,42
| 1,73
| 2,14
| 2,74
| 3,73
| 5,67
| 11,43
| -
|}
 
Veja que os valores crescentes de sen ''x'' são os mesmos para cos ''x'', entretanto são decrescentes. Além disso, a maioria dos senos, cossenos e tangentes dos ângulos são números irracionais. São, portanto, com infinitas casas decimais não periódicas. Todavia, pode-se obter o valor exato das funções trigonométricas em uma forma algébrica. Você pode [http://en.wikipedia.org/wiki/Exact_trigonometric_constants conferir a forma algébrica de alguns ângulos clicando aqui (em inglês)]
 
=== Ângulos notáveis ===
[[File:603090 triangle.png|right|250px]]
Os ângulos notáveis (0°, 30°, 45°, 60° e 90°) são ângulos que se pode facilmente obter a forma algébrica por meio de triângulos retângulos. Consideremos um triângulo retângulo que corresponde à metade de um triângulo equilátero de lado 1 uc. Tem, portanto, sua hipotenusa ''c'' igual a 1, seu lado ''a'' igual a 0,5 uc e seu lado ''b'' igual a altura do triângulo equilátero, 0,5 {{math|{{raiz|3}}}} uc. Assim:
:<math> \sin 30 = \cos 60 = \frac a c = \frac {0,5} 1 = \frac 1 2</math>
Que é o seno de 30° e o cosseno de 60°. O seno de 60° e o cosseno de 30° são obtidos de forma similar:
:<math> \sin 60 = \cos 30 = \frac b c = \frac { 0,5 \sqrt 3} 1 = \frac {\sqrt 3} 2</math>
E assim é possível obter as demais funções trigonométricas para 30° e 60°. Para 45°, considera-se um triângulo retângulo igual à metade de um quadrado de lado 1 uc. Tem, então, hipotenusa de medida {{math|{{raiz|2}}}} uc - a diagonal do quadrado - e os catetos de medida 1 uc - os lados do quadrado:
:<math> \sin 45 = \cos 45 = \frac 1 { \sqrt 2}</math>
De forma mais simples, os valores do seno dos cinco ângulos notáveis é o quociente entre ''x'' e ''2'', em que ''x'' é a raiz de cada um dos cinco termos a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, a<sub>4</sub> e a<sub>5</sub> de uma progressão aritmética em que a<sub>1</sub> = 0 e a razão é igual a +1. O cosseno destes ângulos é a ordem decrescente da progressão:
 
{| class="wikitable" width="30%"
!
! 0°
! 30°
! 45°
! 60°
! 90°
|-
! PA
|<math>45^\circ</math> || <math>\frac{\pi}{4}</math> || <math>\frac{
\sqrt{2}}{2}</math> || <math> \frac { \sqrt{2 0}}{ 2}</math> || <math>1\,</math>
| <math> \frac { \sqrt 1} 2</math>
| <math> \frac { \sqrt 2} 2</math>
| <math> \frac { \sqrt 3} 2</math>
| <math> \frac { \sqrt 4} 2</math>
|-
! Seno =
|<math>60^\circ</math> || <math>\frac{\pi}{3}</math> || <math>\frac{
\sqrt{3}}{2}</math> || <mathcenter>\frac{1}{2}</math> || 0</math>\sqrt{3}</mathcenter>
| <center><math>\frac 1 2</math></center>
|-
|<math>90^\circ</math> || <math>\frac { \pisqrt 2}{ 2}</math> || 1 || 0 || Não definido
| <math>\frac { \sqrt 3} 2</math>
| <center><math>1</math></center>
|-
! Cosseno =
|}
| <center><math>1</math></center>
| <math>\frac { \sqrt 3} 2</math>
| <math>\frac { \sqrt 2} 2</math>
| <math>\frac 1 2</math>
| <center><math>-</math></center>
|}
 
A tangente é obtida pela dividindo-se o seno do respectivo ângulo pelo seu cosseno, pois:
Existe um macete para memorizar estes valores. Lembrando que o gráfico da função seno é crescente no primeiro quadrante (ângulos de 0 graus a 90 graus), escreva:
:<math> \frac {\sin} {\cos} = \frac {\frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{hipotenusa}}} {\frac { \mbox{cateto adjacente}} { \mbox{hipotenusa}}} = \frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{cateto adjacente}} = \tan </math>
: 0, 30, 45, 60, 90
Que resulta:
: 0, 1, 2, 3, 4
 
Em seguida, na segunda linha, tire a raiz quadrada e divida por 2:
{| width="75%"
: 0, 30, 45, 60, 90
|
: 0, 1/2, <math>\sqrt{2}/2\,,</math> <math>\sqrt{3}/2\,,</math> 1
:<math> \tan 0 = 0</math>
E temos os valores da função seno. Os valores do cosseno são obtidos invertendo-se a primeira linha:
|
: 90, 60, 45, 30, 0
: 0, 1/2, <math> \sqrt{2}/2tan 30 = \,,</math>frac <math>{\sqrt{ 3}/2\,, 3</math> 1
|
E os valores da tangente dividindo-se seno por cosseno.
:<math> \tan 45 = 1</math>
|
:<math> \tan 60 = \sqrt 3</math>
|
:<math> \tan 90 = -</math>
|}
 
== Gráficos ==
 
A função Seno é uma função ímpar, pois sen (-x)= -sen x, qualquer que seja x pertencente R.
A função Co-seno é uma função par, pois cos (-x)= cos x, qualquer que seja x pertencente a R.
A função Tangente é uma função ímpar pois é o quociente de uma função ímpar e uma função par:
tg (-x)= -tg x, qualquer que seja x pertencente ao domínio.
A função Co-tangente é uma função de período pi.
 
=== Características ===
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