Wikilivros

Matemática elementar/Função quadrática: diferenças entre revisões

Explorar interativamente o histórico
(Ver alterações pendentes à versão publicada)
[edição verificada][edição verificada]
← Edição anteriorEdição posterior →
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
VisualTexto wiki
Sem resumo de edição
Sem resumo de edição
Linha 51:
== Função quadrática ==
 
A expressão geral da função do segundo grau é
A função quadrática é aquela onde sua variável independente, normalmente chamada ''x'', apresenta grau 2, exemplo:
:<math>f(x) = ax^2 + bx + c \,\!</math>▼
Em que ''a'', ''b'' e ''c'' são os coeficientes de ''x<sup>2</sub>'', ''x'' e independente, respectivamente.
 
=== Gráfico ===▼
<math>f(x)= 2 x^2 - 3 x +1 \,\!</math>
 
Para traçar o gráfico no plano cartesiano, é necessário, ao menos, três soluções para f(x). Desta forma, a equação do segundo grau origina uma '''parábola''', que é formada pelo corte vertical de um cone. A parábola pode ter concavidade voltada para cima (para ''a'' > 0) ou para a parte de baixo (para ''a'' < 0), como é mostrado nos exemplos a baixo:
É sempre uma [[#A parábola|parábola]] e é definida pela fórmula:
<center>
{|
|[[Imagem:Qfunction.png|300px|thumb|Gráfico ''f(x) = x'', em que a concavidade está para cima.]]
|[[Imagem:Time versus enjoyment.gif|320px|thumb|Gráfico ''f(x) = -x<sup>2</sup> + 2x'', em que a concavidade está para baixo.]]
|}
</center>
 
Além disso, você deve notar que para f(0), obtêm-se o ponto (''c'', 0), em ''f(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c'':
▲<math>f(x)= ax^2 + bx + c \,\!</math>
▲:<math>f(x0) = 2 x0^22a - 3+ x0b +1 \,\!c</math>
Portanto, diz-se que o coeficiente independente ''c'' é o ponto no eixo das ordenadas em que passa a parábola. Note que nos gráficos anteriores, a ausência do coeficiente independente faz com que a parábola passa pelo eixo ''y'' no ponto zero.
 
==== Zeros ====▼
A função quadrática, também conhecida por função de segundo grau, é muito comum em nossa vida, ela é usada para calcular o formato dos faróis de carros, antenas parabólicas, instrumentos, etc...
 
[[Imagem:Parabolic graph convex 2roots.PNG|200px|thumb|right| Exemplo de parábola em que &Delta; > 0.]]
▲=== Gráfico ===
[[Imagem:Parabolic graph convex 1root.PNG|200px|thumb|right| Exemplo de parábola em que &Delta; = 0.]]
[[Imagem:Parabolic graph convex no roots.PNG|200px|thumb|right| Exemplo de parábola em que &Delta; < 0.]]
 
Sempre que encontramos um valor da variável <math>''x \,\!</math>'' onde a função <math>''y'' \,\!</math> (ou <math>''f(x)\,\!</math>'') é igual a zero, chamamos este valor de zero (ou raiz) da função. Os zeros de uma função quadrática são no máximo dois, pois a forma fatorada da função quadrática é sempre:▼
▲==== Zeros ====
 
<math>y = f(x) = (x - p)(x - q)\,\!</math>▼
▲Sempre que encontramos um valor da variável <math>x \,\!</math> onde a função <math>y \,\!</math> ou <math>f(x)\,\!</math> é igual a zero chamamos este valor de zero da função. Os zeros de uma função quadrática são no máximo dois, pois a forma fatorada da função quadrática é sempre:
 
Ou seja, só existem dois valores que podem anular o valor da função, que são ''p'' e ''q''. Observe que para ''x'' igual a ''p'' ou ''q'', o produto será zero. Entretanto, a função pode, também, ter apenas uma raiz, ou também, nenhuma raiz real. O número exato de raízes reais da função quadrática é dado por seu discriminante (&Delta;):
▲<math>y=f(x)=(x-p)(x-q)\,\!</math>
:<math>\Delta = b^2 - 4ac</math>
Desta forma, se &Delta; > 0, ''f(x)'' tem duas raízes reais e distintas. Se &Delta; = 0, ''f(x)'' tem duas raízes reais idênticas. Se &Delta; < 0, ''f(x)'' possuirá duas raízes complexas distintas.
 
Os valores de ''p'' e ''q'' podem ser descobertos facilmente por:
Ou seja, só existem dois valores que podem anular o valor da função, que são <math>p\,\!</math> e <math>q \,\!</math>. Observe que se o <math>x\,\!</math> for igual a qualquer dos dois valores o <math>y\,\!</math> será zero.
{| width="40%"
|<math> p = \frac {-b + \sqrt {\Delta}} {2a}</math>
|<math> q = \frac {-b - \sqrt {\Delta}} {2a}</math>
|}
 
OsDesta forma, os zeros da função sãopodem maisser conhecidos comopela seguinte fórmula '''''raízes'''''.resumida:
:<math>x = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}</math>
Chamada ''fórmula quadrática'', popularmente conhecida por ''fórmula de Bhaskara''. Veja um exemplo, em que foram calculadas as raízes de ''f(x) = -4x<sup>2</sup> + 3x + 1'':
:<math>x = \frac {-3 \pm \sqrt {3^2 - 4 \times (-4) \times 1}} {2 \times (-4)} = \frac {-3 \pm \sqrt 25} {-8} = \frac {-3 \pm 5} {-8}</math>
Assim, as são descobertas alternando-se o sinal anterior a {{math|{{raiz|&Delta;}}}}:
Os valores de ''p'' e ''q'' podem ser descobertos facilmente por:
{| width="40%"
|<math> p = \frac {-3 + 5} {-8} = - \frac 1 4</math>
|<math> q = \frac {-3 - 5} {-8} = 1</math>
|}
 
[[Imagem:Parabola (PSF).png|250px|thumb|left|Detalhe do corte de um cone, em que se observa as raízes (A e C) e o vértice (B).]]
==== Vértice ====
 
O vértice é o único ponto ''x'' da função ''f(x)'' em que um determinado valor ''y'' não se repete. Ele pode ser obtido pela [[Matemática elementar/Médias|média aritmética]] de quaisquer valores ''x'' desde que determinem o mesmo ''y''. As raízes, por exemplo, podem ser utilizadas para tal efeito - desde que a função tenha duas raízes. Considerando (x; y) as coordenadas do vértice de f(x), podemos encontrar o vértice do exemplo anterior:
:<math>x = \frac {- \frac 1 4 + 1} 2 = \frac {-1 + 4} {8} = \frac 3 8</math>
O valor ''y'' é obtido pela substituição de ''x'' na equação original:
:<math>y = -4 \left ( \frac 3 8 \right )^2 + 3 \frac 3 8 + 1 = -4 \frac 9 {64} + \frac 9 8 + 1 = \frac {-36} {64} + \frac {72} {64} + \frac {64} {64} = \frac {100} {64} = \frac {25} {16}</math>
Outra forma de se calcular as coordenadas (x; y) do vértice, é utilizando as seguintes fórmulas:
{| width="40%"
|<math> x = \frac {-b} {2a}</math>
|<math> y = \frac {- \Delta} {4a}</math>
|}
 
==== Elementos da parábola ====
Obtido em "https://pt.wikibooks.org/wiki/Matemática_elementar/Função_quadrática"