Teoria de números/Equações diofantinas: diferenças entre revisões
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Neste capítulo serão estudados certos problemas cuja solução envolve conceitos da teoria de números que foram tratados nos capítulos anteriores.
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Matematicamente, o que se quer saber é:
Quais os valores de <math>n
Em geral, as equações que surgem no contexto da teoria de números devem ser resolvidas no conjunto dos números inteiros. Este tipo de equação é conhecido como [[w:equação diofantina|equação diofantina]].
== As equações diofantinas lineares ==
A equação que surgiu do exemplo apresentado no início do capítulo é apenas um caso particular da seguinte: <math>ax+by = n
▲A equação que surgiu do exemplo apresentado no início do capítulo é apenas um caso particular da seguinte: <math>ax+by = n\,\!</math>. Aqui, os inteiros <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math> são fixados.
Quando é que tal equação possui solução?
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{{Teorema
|Dados <math>a,b \in \mathbb{Z}
Além disso, se <math>(x_0,y_0)
<math>x = x_0 - b't
}}
{{Demonstração
|Primeiramente, observe que se <math>(x,y)
Reciprocamente, se <math>d|n
Mas pelo teorema de Bézout, existem inteiros <math>r,s
:<math>n'(ar+bs)=n'd=n
ou seja, basta tomar <math>x=n'r
Resta determinar a forma geral de todas as soluções.
Se <math>(x_0,y_0)
:<math>n = ax+by=ax_0+by_0
Então <math>a(x-x_0)+b(y-y_0)=0
Tomando <math>d=(a,b)
* <math>a=a'd
* <math>b=b'd
Donde:
:<math>a'(x-x_0)=-b'(y-y_0)
Claramente <math>(a',b')=1
Logo
:<math>a'|(y-y_0)
ou seja, existe <math>t \in \mathbb{Z}
:<math>a't=y-y_0
Portanto, <math>y=y_0+a't
Usando essa expressão em
:<math>a'(x-x_0) = -b'(y-y_0)
resulta
:<math>a'(x-x_0) = -b'(y_0+a't-y_0) = -b'a't
Disto se conclui que <math>x=x_0-b't
}}
Assim como acontece em problemas que envolvem [[w:equações diferenciais|equações diferenciais]], para determinar o [[w:conjunto solução|conjunto solução]] de uma equação diofantina, encontra-se primeiramente uma solução particular, e combina-se a mesma com a solução da equação homogênea (no caso, <math>ax+by=0
Agora é possível resolver o problema proposto no início.
=== Aplicação ===
Será que existem números inteiros <math>x,y,n
Conforme o teorema indica, para que exista uma solução (e portanto infinitas) é preciso que <math>, mdc(2,5)|n
Pelo algoritmo de Euclides obtem-se <math>mdc(2,5)=1
:<math>2\cdot (-2n) + 5\cdot n = n
Assim, as demais soluções são da forma:
* <math>x = -2n + 5t
* <math>y = n - 2t
No contexto em que o problema foi colocado, é exigido que as soluções não sejam números negativos. Disto seguem as seguintes restrições:
* <math>-2n + 5t\ge 0
* <math>n - 2t\ge 0
que são equivalentes a
:<math>\frac{2}{5}n \le t \le \frac{n}{2}
Para que exista algum valor inteiro <math>t
:<math>n = 5n - 4n\ge 10
Note que a condição anterior é suficiente, mas não necessária, pois para alguns valores de <math>n<10
* <math>4 = 2+2
* <math>5 = 5+0
* <math>6 = 2+2+2
* <math>7 = 5+2
* <math>8 = 2+2+2+2
* <math>9 = 5+2+2
A conclusão final é que, utilizando apenas notas de <math>2
=== Interpretação geométrica ===
Sabe-se que o conjunto dos pontos <math>(x,y)
{{Tarefa|Incluir figura mostrando uma reta <math>ax+by=d
▲Sabe-se que o conjunto dos pontos <math>(x,y)\,\!</math> (com coordenadas reais) que verificam a equação <math>d = ax+by\,\!</math> é representado por uma reta sobre o plano cartesiano. Então as soluções da [[w:Equação diofantina|equação diofantina]] <math>d = ax+by\,\!</math>, são representadas pelos pontos da reta que possuem ambas as coordenadas inteiras.
▲{{Tarefa|Incluir figura mostrando uma reta <math>ax+by=d\,\!</math>, que passa por vários pontos de coordenadas inteiras, e cujo ponto mais próximo da origem (e com coordenadas inteiras) é destacado.}}
== Diferença de quadrados ==
Um outro problema que pode ser tratado com as ferramentas desenvolvidas até agora é a busca de soluções inteiras para a seguinte equação:
:<math>n = x^2 - y^2
Buscar tais soluções significa determinar se existe algum inteiro <math>n
Estes são alguns exemplos desse tipo de problema:
*<math>x^2 - y^2 = 30
*<math>x^2 - y^2 = 32
Para poder entender a estratégia para a resolução desse tipo de problema, considere que a segunda equação tenha alguma solução <math>x,y
:<math>32 = x^2 - y^2
O que se pode afirmar sobre esses dois números inteiros?
Primeiramente, deve valer <math>32 = x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)
* <math>x + y = 8
* <math>x - y = 4
Por inspeção, percebe-se que <math>x=6
E quanto ao outro problema?
É possível encontrar um par de divisores de <math>30
Observe:
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
!colspan="2" | Divisores de <math>30
|-
|<math>d
|-
|<math>1
|-
|<math>2
|-
|<math>3
|-
|<math>5
|}
Você é capaz de encontrar alguma linha dessa tabela contendo a soma e a diferença de dois números inteiros? Justifique.
Em vez de continuar tratando o problema baseando-se em exemplos particulares, considere que existem <math>x,y
:<math>n = x^2 - y^2
Conforme anteriormente, conclui-se que, para alguma escolha de <math>u, v
:<math>\left\{\begin{matrix}
x + y & = & u\\
x - y & = & v\\
\end{matrix}\right.
Equivalentemente, tais inteiros <math>x,y
:<math>\left\{\begin{matrix}
2x & = & u + v\\
2y & = & u - v\\
\end{matrix}\right.
Se você interpretar essas equações adequadamente, concluirá que <math>u,v
Na verdade, com pouca ou nenhuma argumentação extra, prova-se a validade do seguinte teorema
=== Teorema ===
{{Teorema
|Um número inteiro <math>n
}}
{{Demonstração
|A argumentação precedente mostrou que se <math>n = x^2 - y^2
Reciprocamente, se <math>u,v
:<math>\left\{\begin{matrix}
2x & = & u + v\\
2y & = & u - v\\
\end{matrix}\right.
possui uma solução. Mas o conjunto solução deste sistema coincide com o de:
Linha 183 ⟶ 179:
x + y & = & u\\
x - y & = & v\\
\end{matrix}\right.
Logo, <math>n = u\cdot v = (x+y)(x-y) = x^2 - y^2
Para finalizar a demonstração, note que as paridades de <math>u,v
# <math>u,v
# <math>u,v
Mas <math>u,v
Além disso, para que <math>u,v
}}
Uma forma direta de obter a representação de <math>n
* Se <math>n
:Nessa situação, <math>n = 4k = (k+1)^2-(k-1)^2
* Se <math>n
:Nesse caso, <math>n = 2k+1 = (k+1)^2-k^2
=== Exemplo ===
Com esse resultado, conclúi-se que não há solução para o problema dado em um exemplo anterior:
* <math>x^2 - y^2 = 30
De fato, <math>30
Por outro lado, usando a fórmula anterior, fica fácil resolver:
* <math>x^2 - y^2 = 32
Como <math>32 = 4 \cdot 8
== Ternos pitagóricos ==
{| width="100%" style="border:1px solid #6688AA;-moz-border-radius:1em; background-color:#F0F9FF; margin-left:1em; padding:1em; width:50%; float:right; clear:right; " valign="top"|
|-
|<big><big>Um pouco de história</big></big>
[[
[[w:Pitágoras|Pitágoras]] foi um matemático e filósofo grego nascido por volta de 570 a.C., na ilha de Samos. Ele é creditado pela demonstração de uma importante relação entre os lados de um triangulo retângulo, hoje conhecida como o [[w:Teorema de Pitágoras|teorema de Pitágoras]], cujo enunciado é geralmente resumido da seguinte forma:
<center>''O quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados sobre os outros dois lados''.</center>
|}
Um ''terno pitagórico'' é uma tripla de números inteiros <math>x, y, z
:<math>x^2 + y^2 = z^2
Por exemplo, <math>3^2 + 4^2 = 5^2
É possível simplificar a investigação, considerando somento o caso em que <math>x, y, z
:<math>(dx')^2 + (dy')^2 = (dz')^2 \Leftrightarrow x'^2 + y'^2 = z'^2
Na verdade, se <math>x, y, z
:<math>(x, y, z) = (x, y) = (x, z) = (y, z)
{{Justificativa}}
Em particular, não podem haver <math>x, y
Por outro lado, os inteiros <math>x, y
:De fato, se assim ocorresse, valeria:
:* <math>x=2a+1
:* <math>y=2b+1
:Deste modo, elevando cada um destes números ao quadrado, resultaria:
:* <math>x^2=(2a+1)^2 = 4a^2 + 4a + 1
:* <math>x^2=(2b+1)^2 = 4b^2 + 4b + 1
:Donde:
:* <math>x^2 + y^2=(2b+1)^2 = (4a^2 + 4a + 1) + (4b^2 + 4b + 1) = 4k + 2
:Ou seja, a soma dos quadrados de <math>x
:No entanto, sempre que <math>z^2
:Logo, quando <math>x, y
Segue que dos inteiros <math>x, y
Uma outra forma de escrever a equação original é:
:<math>x^2 = z^2 - y^2 = (z+y)(z-y)
A partir daí, pode-se deduzir outras informações sobre os inteiros que a satisfazem. Por exemplo, <math>(z+y, z-y) = 1
:<math>d|z+y, z-y \Rightarrow d|2z, 2y \Rightarrow d|2
A segunda implicação vale pois <math>(z,y) = 1
Mas não pode ocorrer <math>d=2
:<math>2|z+y
e como <math>y
Assim, o quadrado perfeito <math>x^2
:<math>\left\{\begin{matrix}
z+y & = & u^2\\
z-y & = & v^2
\end{matrix}\right.
que equivale a:
Linha 274 ⟶ 267:
2z & = & u^2 + v^2\\
2y & = & u^2 - v^2
\end{matrix}\right.
Portanto, quando três números inteiros primos entre si (e não todos nulos) satizfazem a equação:
:<math>x^2 + y^2 = z^2
devem existir inteiros <math>u,v
:<math>\left\{\begin{matrix}
x & = & uv\\
y & = & \frac{u^2 - v^2}{2}\\
z & = & \frac{u^2 + v^2}{2}
\end{matrix}\right.
Claramente, para quaisquer inteiros <math>u, v
:<math>(uv)^2 + (\frac{u^2 - v^2}{2})^2 = \frac{2u^2v^2 + (u^2 - v^2)^2}{2} = \frac{u^2 + v^2}{2}
=== Exemplos ===
Linha 294 ⟶ 287:
y & = & \frac{u^2 - v^2}{2}\\
z & = & \frac{u^2 + v^2}{2}
\end{matrix}\right.
Alguns deles são listados na tabela a seguir:
Linha 301 ⟶ 294:
!colspan="2" | parâmetros||colspan="3"| ternos pitagóricos
|-
!<math>u
|-
|3 || 1 || 3 || 4 || 5
Linha 317 ⟶ 310:
Note ainda que toda solução é da forma:
:<math>4UV + (U-V) = (U+V)^2
onde:
:<math>\left\{\begin{matrix}
U & = & u^2\\
V & = & v^2\\
\end{matrix}\right.
=== Observações ===
Linha 331 ⟶ 324:
y & = & 2ab\\
z & = & a^2 + b^2
\end{matrix}\right.
Tal fórmula é equivalente àquela deduzida anteriormente, como se pode verificar facilmente:
{{Demonstração
|De fato, foi mostrado que se <math>x^2 + y^2 = z^2
:<math>y^2 = z^2 - x^2 = (z+x)(z-x)
Mas é verdade que <math>(z+x,z-x)=2
Donde
:<math>\left\{\begin{matrix}
z+x & = & 2a^2\\
z-x & = & 2b^2\\
\end{matrix}\right.
que é equivalente a:
Linha 348 ⟶ 341:
z & = & a^2 + b^2\\
x & = & a^2 - b^2\\
\end{matrix}\right.
sendo que <math>(a,b) = 1
Disso se conclui também que:
:<math>y = 2ab
}}
== Exercícios ==
# Mostre que se <math>a^2 = b\cdot c
{{AutoCat}}
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