Guia de problemas matemáticos/Equações e inequações/Número de soluções inteiras para a inequação 2: diferenças entre revisões
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== O problema==
Se
:<math>\operatorname{min}(a,b) =
\begin{cases}
a, & \mbox{se } a \leq b,\\
b, & \mbox{se } a > b.
\end{cases}</math>
▲<math>min(a,b) = \left(\begin{matrix} a, & se & a \leq b \\ b, & se & a > b \end{matrix}\right)</math>. Então calcule o número de soluções inteiras negativas da inequação <i><b>min(2x - 7, 8 - 3x) > -3x + 3</b></i>.
== Uma solução ==
Nesse problema (como em praticamente todos os formados por inequações) teremos que trabalhar com intervalos. Primeiramente, devemos encontrar os intervalos a que deve pertencer
<math> 2x - 7 \leq 8 - 3x \longrightarrow 5x \leq 15 \longrightarrow x \leq 3</math>
Vamos agora repetir a operação, dessa vez procurando pelo intervalo a que deve pertencer
▲Vamos agora repetir a operação, dessa vez procurando pelo intervalo a que deve pertencer <i><b>x</b></i> de forma que <i><b>b</b></i> seja o menor:
<math> 2x - 7 \geq 8 - 3x \longrightarrow 5x \geq 15 \longrightarrow x \geq 3</math>
A desigualdade proposta pelo problema pede que o menor dos números,
▲A desigualdade proposta pelo problema pede que o menor dos números, <i><b>a</b></i> ou <i><b>b</b></i>, seja maior que <i><b>-3x + 3</b></i>. Para tanto, devemos encontrar o intervalo que contendo <i><b>x</b></i>, tornará verdadeira a desigualdade. Faremos isso da seguinte maneira: primeiramente, vamos encontrar o intervalo em que <i><b>x</b></i> nos dará como menor o número <i><b>a</b></i> e, ao mesmo tempo, maior que <i><b>-3x + 3</b></i>. Após, faremos o mesmo com o número <i><b>b</b></i>. Então:
<math>2x - 7 > -3x + 3 \longrightarrow 5x > 10 \longrightarrow x>2</math>
Vemos aqui que para qualquer
▲<math> 2 < x \leq 3</math><font color=white>.....</font><i><b>(I)</b></i>
▲Agora, para o número <i><b>b</b></i>:
<math>8 - 3x > -3x + 3 \longrightarrow 8 > 3</math>
Aqui, temos que para qualquer
▲Aqui, temos que para qualquer <i><b>x</b></i> real, o número <i><b>b</b></i> será maior que <i><b>-3x + 3</b></i>. Portanto, para que <i><b>b</b></i> seja o menor e, ao mesmo tempo, maior que <i><b>-3x + 3</b></i>, devemos ter:
▲<math>x \geq 3</math><font color=white>.....</font><i><b>(II)</b></i>
Finalmente, para encontrarmos todos os valores de <i><b>x</b></i> que, dando <i><b>a</b></i> ou <i><b>b</b></i> como o menor número e, ao mesmo tempo, fazendo com que esse número seja maior que <i><b>-3x + 3</b></i>, precisamos efetuar a intersecção entre os conjuntos <i><b>(I)</b></i> e <i><b>(II)</b></i>. Essa operação nos dará:▼
▲Finalmente, para encontrarmos todos os valores de
<math>x>2</math>
Portanto, o conjunto solução dessa inequação será <math>S = \left(x \in \Re / x > 2 \right)</math>, ou seja,
▲Portanto, o conjunto solução dessa inequação será <math>S = \left(x \in \Re / x > 2 \right)</math>, ou seja, <i><b>x</b></i> deve ser positivo e maior que 2. Isso nos leva a concluir que não existem soluções inteiras e negativas para a desigualdade proposta. Matematicamente falando:
<math>\left((I)\cap(II)\right)\cap Z^*_- = \emptyset</math>
E terminamos o problema.
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