Guia de problemas matemáticos/Equações e inequações/Número de soluções inteiras para a inequação 2: diferenças entre revisões

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== O problema==
 
Se <i><b>'''''a</b></i>''''' e <i><'''''b>b</b></i>''''' são dois números reais, denotamos por <i><b>'''''min(a,b)</b></i>''''' o menor dos números <i><b>'''''a</b></i>''''' e <i><b>b</'''''b></i>''''', isto é,
:<math>\operatorname{min}(a,b) =
\begin{cases}
a, & \mbox{se } a \leq b,\\
b, & \mbox{se } a > b.
\end{cases}</math>
 
<math>min(a,b) = \left(\begin{matrix} a, & se & a \leq b \\ b, & se & a > b \end{matrix}\right)</math>. Então calculeCalcule o número de soluções inteiras negativas da inequação <i><b>'''''min(2x - 7, 8 - 3x) > -3x + 3</b></i>'''''.
 
<math>min(a,b) = \left(\begin{matrix} a, & se & a \leq b \\ b, & se & a > b \end{matrix}\right)</math>. Então calcule o número de soluções inteiras negativas da inequação <i><b>min(2x - 7, 8 - 3x) > -3x + 3</b></i>.
 
== Uma solução ==
 
Nesse problema (como em praticamente todos os formados por inequações) teremos que trabalhar com intervalos. Primeiramente, devemos encontrar os intervalos a que deve pertencer <i><b>'''''x</b></i>''''' para que <i><b>'''''a</b></i>''''' ou <i><b>b</'''''b></i>''''' seja o menor número. Pela definição dada no enunciado, vamos encontrar esse intervalo para que <i><b>'''''a</b></i>''''' seja o menor:
 
 
<math> 2x - 7 \leq 8 - 3x \longrightarrow 5x \leq 15 \longrightarrow x \leq 3</math>
 
Vamos agora repetir a operação, dessa vez procurando pelo intervalo a que deve pertencer <i><b>'''''x</b></i>''''' de forma que <i><b>b</'''''b></i>''''' seja o menor:
 
Vamos agora repetir a operação, dessa vez procurando pelo intervalo a que deve pertencer <i><b>x</b></i> de forma que <i><b>b</b></i> seja o menor:
 
 
<math> 2x - 7 \geq 8 - 3x \longrightarrow 5x \geq 15 \longrightarrow x \geq 3</math>
 
A desigualdade proposta pelo problema pede que o menor dos números, <i><b>'''''a</b></i>''''' ou <i><'''''b>b</b></i>''''', seja maior que <i><b>'''''-3x + 3</b></i>'''''. Para tanto, devemos encontrar o intervalo que contendo <i><b>'''''x</b></i>''''', tornará verdadeira a desigualdade. Faremos isso da seguinte maneira: primeiramente, vamos encontrar o intervalo em que <i><b>'''''x</b></i>''''' nos dará como menor o número <i><b>'''''a</b></i>''''' e, ao mesmo tempo, maior que <i><b>'''''-3x + 3</b></i>'''''. Após, faremos o mesmo com o número <i><b>b</'''''b></i>'''''. Então:
 
A desigualdade proposta pelo problema pede que o menor dos números, <i><b>a</b></i> ou <i><b>b</b></i>, seja maior que <i><b>-3x + 3</b></i>. Para tanto, devemos encontrar o intervalo que contendo <i><b>x</b></i>, tornará verdadeira a desigualdade. Faremos isso da seguinte maneira: primeiramente, vamos encontrar o intervalo em que <i><b>x</b></i> nos dará como menor o número <i><b>a</b></i> e, ao mesmo tempo, maior que <i><b>-3x + 3</b></i>. Após, faremos o mesmo com o número <i><b>b</b></i>. Então:
 
 
<math>2x - 7 > -3x + 3 \longrightarrow 5x > 10 \longrightarrow x>2</math>
 
Vemos aqui que para qualquer <i><b>'''''x</b></i>''''' real, maior que 2, <i><b>'''''a</b></i>''''' será maior que <i><b>'''''-3x + 3</b></i>'''''. Agora devemos fazer a intersecção desse intervalo com o intervalo que nos fornece <i><b>'''''a</b></i>''''' como o menor. Isso resultará em:
 
<math> 2 < x \leq 3</math><font color=white>.....</font><i><b>'''''(I)</b></i>'''''
 
Agora, para o número <i><'''''b>b</b></i>''''':
<math> 2 < x \leq 3</math><font color=white>.....</font><i><b>(I)</b></i>
 
 
Agora, para o número <i><b>b</b></i>:
 
 
<math>8 - 3x > -3x + 3 \longrightarrow 8 > 3</math>
 
Aqui, temos que para qualquer <i><b>'''''x</b></i>''''' real, o número <i><'''''b>b</b></i>''''' será maior que <i><b>'''''-3x + 3</b></i>'''''. Portanto, para que <i><'''''b>b</b></i>''''' seja o menor e, ao mesmo tempo, maior que <i><b>'''''-3x + 3</b></i>''''', devemos ter:
 
<math>x \geq 3</math><font color=white>.....</font><i><b>'''''(II)</b></i>'''''
Aqui, temos que para qualquer <i><b>x</b></i> real, o número <i><b>b</b></i> será maior que <i><b>-3x + 3</b></i>. Portanto, para que <i><b>b</b></i> seja o menor e, ao mesmo tempo, maior que <i><b>-3x + 3</b></i>, devemos ter:
 
 
<math>x \geq 3</math><font color=white>.....</font><i><b>(II)</b></i>
 
 
Finalmente, para encontrarmos todos os valores de <i><b>x</b></i> que, dando <i><b>a</b></i> ou <i><b>b</b></i> como o menor número e, ao mesmo tempo, fazendo com que esse número seja maior que <i><b>-3x + 3</b></i>, precisamos efetuar a intersecção entre os conjuntos <i><b>(I)</b></i> e <i><b>(II)</b></i>. Essa operação nos dará:
 
Finalmente, para encontrarmos todos os valores de <i><b>'''''x</b></i>''''' que, dando <i><b>'''''a</b></i>''''' ou <i><'''''b>b</b></i>''''' como o menor número e, ao mesmo tempo, fazendo com que esse número seja maior que <i><b>'''''-3x + 3</b></i>''''', precisamos efetuar a intersecção entre os conjuntos <i><b>'''''(I)</b></i>''''' e <i><b>'''''(II)</b></i>'''''. Essa operação nos dará:
 
<math>x>2</math>
 
Portanto, o conjunto solução dessa inequação será <math>S = \left(x \in \Re / x > 2 \right)</math>, ou seja, <i><b>'''''x</b></i>''''' deve ser positivo e maior que 2. Isso nos leva a concluir que não existem soluções inteiras e negativas para a desigualdade proposta. Matematicamente falando:
 
Portanto, o conjunto solução dessa inequação será <math>S = \left(x \in \Re / x > 2 \right)</math>, ou seja, <i><b>x</b></i> deve ser positivo e maior que 2. Isso nos leva a concluir que não existem soluções inteiras e negativas para a desigualdade proposta. Matematicamente falando:
 
 
<math>\left((I)\cap(II)\right)\cap Z^*_- = \emptyset</math>
 
E terminamos o problema.
 
 
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