Curso de termodinâmica/Aplicação aos gases perfeitos: diferenças entre revisões

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<TD WIDTH="13%"><center>[[Curso de termodinâmica:Aplicação aos gases perfeitos|G. perfeitos]]</center></TD>
<TD WIDTH="13%"><center>[[Curso de termodinâmica:Termoquímica|Termoquímica]]</center></TD>
<TD WIDTH="13%"><center>[[curso de termodinâmica:Trabalho, calor e metabolismo - Aplicação aos seres vivos|Metabolismo]]</center></TD>Metabolis
</TR>
</TABLE>
 
Ao invés dos líquidos e dos sólidos, o volume dos gases varia muito sob o efeito de uma mudança de pressão. Por esta razão utilizamos gases para ilustrar as leis da termodinâmica.
 
Também, máquinas desenvolvidas durante a revolução industrial usavam movimentos de gases e transformações trabalho-calor em sistemas gasosos (numa locomotiva a vapor por exemplo) que o estudo da termodinâmica permitiu de entender e controlar.
 
==Experiência de Joule==
 
[[Imagem:Joultom.gif|right]]Deixando um gás se descomprimindo num recipiente vazio, não observamos, na maioria dos casos mudança de temperatura. O trabalho executado é nulo, visto que a descompressão se faz contra uma pressão externa nula (o segundo recipiente é vazio). Como não observamos nenhuma mudança de temperatura do banho , a expansão se faz sem modificação da energia térmica do sistema. Em conseqüência, a energia do gás não muda durante uma descompressão. Numerosas medições mostraram que é verdade nas condições onde o gás obedece também à lei dos gases perfeitos. Como E não muda quando P ou V mudam, esta experiência mostra que:
 
 
a energia de um gás perfeito depende só da temperatura.
 
 
<center><math>\Delta E_{gas\; perfeito}\;=\;0</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; durante qualquer processo isotermo</center>
 
 
 
 
 
Matematicamente, o resultado de Joule se escreve:
 
<center><math>(\frac{\partial E}{\partial V})_T\;=\;(\frac{\partial E}{\partial P})_T\;=\;0</math></center>
A diferencial total exata
 
 
<center><math>dE\;=\;(\frac{\partial E}{\partial V})_T dV\;+\;(\frac{\partial E}{\partial T})_V dT </math></center>
 
 
fica:
<center><math>dE\;=(\frac{\partial E}{\partial T})_T dV\;=\;C_vdT</math></center>
 
No tocante da energia, podemos escrever:
 
<center><math>(\frac{\partial H}{\partial P})_T\;=\;(\frac{\partial(E+PV)}{\partial P})_T\;=\;(\frac{\partial E}{\partial P})T\;+\;(\frac{\partial (PV)}{\partial P})_T</math></center>
<BR>
<BR>
<center><math>(\frac{\partial H}{\partial V})_T\;=\;(\frac{\partial(E+PV)}{\partial V})_T\;=\;(\frac{\partial E}{\partial V})T\;+\;(\frac{\partial (PV)}{\partial V})_T</math></center>
 
Porém, o produto PV e energia E são ambos constantes para um gás perfeito mantido a temperatura constante. Então:
 
<center><math>(\frac{\partial H}{\partial V})_T\;=\;(\frac{\partial H}{\partial P})_T\;=\;0</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(gás perfeito)</center>
 
e, da mesma maneira:
 
<center><math>dH\;=\;(\frac{\partial H}{\partial T})_P\;=\;C_pdT </math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(gás perfeito)</center>
 
 
Em resumo , para um gás perfeito:
&nbsp;&nbsp;<math>\Delta E\;=\;\int_{T1}^{T2}C_VdT\qquad e \qquad \Delta H\;=\;\int_{T1}^{T2} C_PdT</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;qualquer seja o processo (mesmo se V e P não são constantes).
 
 
 
A relação entre <math>C_P</math> e <math>C_V</math>:
 
*para qualquer gás:
<center><math>C_P-C_V\;=\;[P\;+\;(\frac{\partial E}{\partial V})_T](\frac{\partial V}{\partial T})_P</math></center>
 
*para um gás perfeito:
<center><math>C_p-C_V\;=\;P(\frac{\partial V}{\partial T})_P</math></center>
<BR>
<center><math>C_P\;-\;C_V\;=\;P[\frac{\partial \frac{nRT}{P}}{dT}]_P\;=\;P(\frac{nR}{P})\;=\;nR</math></center>
 
onde <math> C_P</math> e <math>C_V</math> representam a capacidade calorífica do sistema.
 
Se anotamos <math>\bar{C_P}</math> e <math>\bar{C_V}</math> a capacidade por mol dos gases,
<center><math>\bar{C_P}\;-\;\bar{C_V}\;=\;R</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(gás perfeito)</center>
==Dilatação reversível e isoterma de um gás perfeito==
 
 
PV e <math>\Delta E</math> são constantes. E é nulo e a primeira lei se escreve: q + w = 0. A pressão externa aplicada é igual à pressão de equilíbrio do gás.
 
 
<math>w=\int{-P_{ext}dV}=\int{-PdV}=\int{-\frac{nRT}{V}}dT=-nRT\int{\frac{dV}{V}} = -nRTln(\frac{V_2}{V_1}</math>
 
<math>q\;=\;-w\;=\;nRT\;ln\frac{V_2}{V_1}\;=\;nRT(\frac{P_1}{p_2})</math>
 
==Dilatação reversível e adiabatíca de um gás perfeito==
 
Como não tem nenhuma troca de calor com o meio ambiente (q = 0), a primeira lei se escreve:
 
<math>dE\;=\;d\delta W\;=\;-PdV</math></center>
 
 
 
Porém, para qualquer processo com um gás perfeito, temos:
 
<center><math>dE\;=\;C_VdT</math></center>
 
Em conseqüência:
 
<center><math>C_VdT\;=\;-PdV</math></center>
 
que fica, para um processo reversível:
 
<center><math>n \bar C_VdT\;=\;-\frac{nRT}{V}dV</math></center>
 
 
Integrando entre o estado inicial 1 e o estado final 2:
 
<center><math>\frac{\bar C_V}{R}\int \frac{dT}{V}\ =\ -\int\frac{dV}{V}\qquad seja\qquad\frac{\bar C_V}{R}ln(\frac{T_2}{T_1})\ =\ ln(\frac{V_1}{V_2})</math></center>
 
</Br>
 
<center><math>\;ln[(\frac{T_2}{T_1})^{\frac{\bar C_V}{R}}]\;=\;ln(\frac{V_1}{V_2})\qquad ou\qquad V_1T_1^{\frac{\bar C_V}{R}}\;=\;V_2T_2^{\frac{\bar C_V}{R}}</math></center>
 
 
definindo:
<center><math>\gamma \;=\;\frac{C_P}{C_V}\;=\;\frac{\bar C_P}{\bar C_V}</math></center>
 
e sabendo que, para um gás perfeito,:<math>\bar C_P\;-\;\bar C_V\;=\;R\qquad obtemos:P_1V_1^\gamma\;=\;P_2V_2^\gamma</math>
 
As relações em cima mostram que a dilatação adiabática reversível de um gás perfeito provoca o resfriamento do gás. Por exemplo, num diagrama P(V):
 
[[Imagem:adia.gif]]
 
 
 
ou ainda num diagramo a três dimensões P(V,T):
[[Imagem:adia3d.gif]]
 
== Relação entre Delta H e Delta E-caso das reações químicas isotermas com gases perfeitos ==
 
A relação entre a mudança de entalpia<math>\Delta H </math>e a mudança de energia <math</Delta E </math>de um sistema durante um processo qualquer se escreve:
 
 
 
<math>\Delta H\;=\;\Delta(E\;+PV)\;=\;(E_2\;PV)\;-\;(E_1\;+\;P_1V_1)\;=\;\Delta E\;+\;\Delta(PV)</math>
 
 
que fica, para um sistema constituído de gases perfeitos:
 
<center><math>\Delta H\;=\;\Delta E\;+\Delta(nRT)</math></center>
 
Para um processo isotermo com mudança do número de mols de gás no sistema (T = constante; n<math>ne</math>0), uma reação química isoterma entre gases perfeitos por exemplo, a relação entre<math>H</math> e <math>E</math> fica:
 
<center><math>\Delta H\;=\;\Delta E\;+\;RT(\Delta n)</math></center>
 
Se a reação química entre gases perfeitos é conduzida á temperatura e pressão constantes, a mudança de entalpia do sistema <math>H_P</math> é igual ao calor Q_P. Se esta reação química entre gases perfeitos é conduzida a temperatura e volume constantes, é a mudança de energia do sistema<math>\Delta EV</math> que é igual ao calor Q_V e
 
<center><math>\Delta H_P\;=\;\Delta H_V\;=\;Q_P\;\;\;\;\;\;e\;\;\;\;\ \Delta E_v\;=\;\Delta E_P\;=\;Q_V</math></center>
 
Estas expressões poderão também ser utilizadas, em primeira aproximação, quando na reação química temos não só gases perfeitos mas também sólidos e líquidos. Em efeito, estes últimos recebem variações de volume que são negligenciáveis em relação à mudança de volume de gás. Poderemos então negligenciar a contribuição dos líquidos e sólidos o termo (PV):
 
<center><math>\Delta H\;\sim\;\Delta E\;+\;(\Delta n_g)RT</math></center>
 
onde<math>\Delta n_g</math> representa a mudança do número de mols de gás durante a reação.