Matemática elementar/Trigonometria/Funções trigonométricas: diferenças entre revisões

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A tangente de 90° não é definida, pois é impossível que o ângulo entre a hipotenusa e os catetos seja 90°.
 
== Círculo trigonométrico ==
 
Considerando um círculo de 1 uc de raio, este tem sua circunferência igual a 2π uc. Portanto, um setor de um grau deste círculo corresponde a:
:<math> \frac {2 \pi} {360} \mathrm {uc} = \frac {\pi} {180} \mathrm {uc}</math>
Podemos transformar a unidade de medida ''uc'' (unidades de comprimento) em ''rad'' (radianos). Assim, podemos dizer que:
:<math>1^{\circ} = \frac {\pi} {180} \mathrm {rad} </math>
Colocando os ângulos notáveis neste círculo obtêm-se os valores (x; y) em que ''x'' é o cosseno do ângulo e ''y'' o seno:
[[File:Unit circle angles.svg|400px|center]]
Observa-se em tais valores que à medida em que os ângulos avançam de quadrante os valores de seno e cosseno tem seu sinal alternado. É perfeitamente notável que tais funções seguem, então, uma periodicidade infinita, e seus valores repetiram a cada volta do círculo. Deste mesmo círculo, pode-se obter as demais funções trigonométricas, que não são mais que relações do triângulo retângulo entre a origem, a coordenada e ponto (x; 0):
[[File:Circunferência trigonométrica.svg|400px|center]]
 
== Gráficos ==
 
Podemos colocar as funções trigonométricas em um plano cartesiano, em que o eixo das abcissas equivale ao ângulo em radianos e o eixo das ordenadas ao contradomínio da função.
 
=== Seno ===
Colocando-se os resultados obtidos para a função seno num plano, obteremos:
 
[[File:Sine.svg|600px|center]]
 
Observe que a função seno é uma função ímpar, pois ''sen (-x) = -sen x'', qualquer que seja ''x'' pertencente aos números reais. Note que esta função é composta por infinitos intervalos 2&pi;. Dizemos, então, que o período da função ''sen (x)'' é 2&pi;. Quanto ao contradomínio, ele pertence ao intervalo [-1; 1]. A distância entre o centro e o limite da função é a '''amplitude'''. Neste caso, a amplitude da função é igual a 1. O gráfico da função seno forma uma '''senoide'''. Pode-se determinar o seno de qualquer ângulo através das seguintes equações:
 
{| width="70%"
|
:<math>x \lbrace x \in \mathbb{R} | 0 < x \le 90 \rbrace \equiv y - 90 (4z + w)</math>
:<math>x \left \{ x \in \mathbb{R} | 0 < x \le \frac {\pi} 2 \right \} \equiv y - \frac {\pi} 2 (4z + w)</math>
|
Para as quais:
:<math>
\sin y
\begin{cases}
w = 0 \to \sin x \\
w = 1 \to \cos x \\
w = 2 \to - \sin x \\
w = 3 \to - \cos x
\end{cases}
</math>
|}
 
Onde ''y'' é um ângulo qualquer e ''z'' um número inteiro.
 
{{ênfase| 1= '''Exemplo''' - Qual o seno de 500°?
:<math>x \lbrace x \in \mathbb{R} | 0 < x \le 90 \rbrace \equiv 500 - 90 (4z + w)</math>
Os únicos números ''z'' e ''w'' que satisfaçam ''500 - 90 (4z + w) = x'' onde ''x'' pertence ao intervalo ]0; 90] é ''z = 1'' e ''w = 1''. Veja:
:<math>500 - 90 (4 + 1) \equiv x \to x \equiv 50</math>
Já que ''w = 1'', então o seno de 500° é igual ao cosseno de 50°, que temos na primeira tabela desta página. Portanto, o seno de 500° é 0,64.}}
 
=== Cosseno ===
 
O gráfico da função cosseno é o seguinte:
 
[[File:Cosine.svg|600px|center]]
 
Esta é uma função par, pois ''cos (-x) = cos x'', qualquer que seja ''x'' pertencente ao conjunto dos números reais. Igual à função seno, a função cosseno tem período igual a 2&pi; e amplitude igual a 1. O gráfico da função cosseno forma uma '''cossenoide'''. De forma similar à função seno, podemos transformar qualquer ângulo real para ''0° < x &le; 90°'' e assim obter seu cosseno:
 
{| width="70%"
|
:<math>x \lbrace x \in \mathbb{R} | 0 < x \le 90 \rbrace \equiv y - 90 (4z + w)</math>
:<math>x \left \{ x \in \mathbb{R} | 0 < x \le \frac {\pi} 2 \right \} \equiv y - \frac {\pi} 2 (4z + w)</math>
|
Para as quais:
:<math>
\cos y
\begin{cases}
w = 0 \to \cos x \\
w = 1 \to - \sin x \\
w = 2 \to - \cos x \\
w = 3 \to \sin x
\end{cases}
</math>
|}
 
Onde ''y'' é um ângulo qualquer e ''z'' um número inteiro.
 
{{ênfase| 1= '''Exemplo''' - Qual o maior ângulo negativo no qual seu cosseno é igual ao seno de 30°?
 
Para que o ângulo ''y'' tenha seu cosseno igual ao seno de 30°, ''w'' deve ser igual a ''3'':
:<math>30 \equiv y - 90 (4z + 3)</math>
Já que a equivalência é verdadeira, há infinitos números ''z'' que a satisfazem. No entanto, a questão especifica que este deve ser o maior negativo, portanto, ''z = -1'':
:<math>30 \equiv y + 90 \to y = -60</math>}}
 
=== Tangente ===
 
Já para o gráfico da função tangente, temos:
 
[[File:Tangent-plot.svg|600px|center]]
 
A função tangente é uma função ímpar pois é o quociente de uma função ímpar e uma função par. É, pois, tan (-x) = - tan x {x &isin; R}. O período desta função é igual a &pi;, e sua amplitude estende-se ao infinito. O gráfico da função tangente forma uma '''tangentoide'''. Para determinar a tangente de um ângulo qualquer, temos, para ''0° &le; x < 90°'':
 
:<math>
\tan y
\begin{cases}
180z \le y < 180z + 90 \to \tan (y - 180z) = \tan y = \tan x \\
180z + 90 \le y < 180 (z + 1) \to |y - 180 (z + 1)| = x \to \tan y = -\tan x
\end{cases}
</math>
 
Onde ''y'' é um ângulo qualquer e ''z'' um número inteiro.
 
{{ênfase| 1= '''Exemplo''' - A tangente do ângulo 20° é igual à tangente de -200°?
 
O primeiro passo é determinar a qual conjunto pertence -200°. Veja que este encaixa-se perfeitamente em ''180z + 90 &le; y < 180 (z + 1)'' quando ''z = -2'':
:<math>-270 \le y < -180</math>
Então,
:<math>x = |-200 - 180 (-2 + 1)| = 20 </math>
E assim:
:<math> - \tan 20 = \tan -200 </math>
Logo, a tangente de -200° não é igual à tangente de 20°, mas sim à tangente de 20° negativa.
}}
 
=== Características ===
[[File:Amplitude and wavelength.png|350px|right|thumb|Nesta imagem, '''a''' é a amplitude e '''b''' o período.]]
Dados ''a'' + ''b'' sen (''cx'' - ''d&pi;'') ou ''a'' + ''b'' cos (''cx'' - ''d&pi;''), que são as equações da senoide e da cossenoide, respectivamente, determina-se:
*'''a + b''' e '''a - b''' - os limites (0; a+b) e (0; a-b) da função trigonométrica, equivalente ao conjunto imagem ''Im = [a+b; a-b]'';
*'''2&pi; ÷ c''' - o período da função;
*'''d''' - o deslocamento horizontal da função trigonométrica.
A partir destes valores tem-se a amplitude (A), dada pela média aritmética da distância entre as ordenadas dos limites:
:<math>A = \frac {|a + b| + |a - b|} {2}</math>
 
== Propriedades ==
=== Cosseno ao quadrado mais seno ao quadrado ===
[[Imagem:Defining sin and cosine.png|frame|right|Definição de seno e cosseno]]
Diretamente da figura que define seno e cosseno (ao lado), temos, pelo triângulo retângulo no primeiro quadrante, que:
* <math>(\cos x)^2 + (\mathrm{sen}\, x)^2 = 1^2\,</math>
É convencional escrever o quadrado de uma função trigonométrica colocando-se o sinal imediatamente ao lado do nome da função. Assim, esta relação é escrita:
* <math>\cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = 1\,.</math>
 
A geometria do triângulo retângulo prova esta relação no caso de <math>0 < x < \pi/2\,,</math> ou seja, para ângulos no primeiro quadrante. Nos casos <math>x = \pi/2, \pi \mbox{ ou } 3 \pi / 2\,,</math> temos que um deles (seno ou cosseno) vale 1, e o outro vale 0, logo a soma dos seus quadrados é 1.
 
Nos demais casos, temos:
: Se ''x'' está no segundo quadrante, então <math>y = \pi/2 - x\,</math> está no primeiro quadrante, e:
:: <math>\cos x = - \cos(\pi/2 - x)\,:</math> : <math>\mathrm{sen}\, x = \mathrm{sen}\,(\pi/2 - x)\,:</math> portanto:
:: <math>\cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = \cos^2 (\pi/2 - x) + \mathrm{sen}\,^2 (\pi/2 - x) = \cos^2 y + \mathrm{sen}\,^2 y = 1\,</math>
 
Analogamente:
: Se ''x'' está no terceiro quadrante, então <math>y = x - \pi\,</math> está no primeiro quadrante, e:
:: <math>\cos x = - \cos(x - \pi)\,:</math> : <math>\mathrm{sen}\, x = - \mathrm{sen}\,(x - \pi)\,:</math> portanto:
:: <math>\cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = \cos^2 (x - \pi) + \mathrm{sen}\,^2 (x - \pi) = \cos^2 y + \mathrm{sen}\,^2 y = 1\,</math>
 
Finalmente:
: Se ''x'' está no quarto quadrante, então <math>y = -x\,</math> está no primeiro quadrante, e:
:: <math>\cos x = \cos(-x)\,:</math> : <math>\mathrm{sen}\, x = - \mathrm{sen}\,(-x)\,:</math> portanto:
:: <math>\cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = \cos^2 (-x) + \mathrm{sen}\,^2 (-x) = \cos^2 y + \mathrm{sen}\,^2 y = 1\,</math>
 
Ou seja, a relação
: <math>cos^2 x + sen^2 x = 1\,</math>
é válida para qualquer ângulo real ''x''.
 
=== Propriedades do quadrado da secante e da cossecante ===
Lembrando que:
: <math>\mbox{sec} x = \frac{1}{\cos x}\,:</math> <math>\mbox{cosec} x = \frac{1}{\mathrm{sen}\, x}\,:</math> <math>\mbox{tan} x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x}\,:</math> <math>\mbox{cotan} x = \frac{\cos x}{\mathrm{sen}\, x}\,</math>
temos que:
 
: Dividindo <math>\cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = 1\,</math> por <math>\cos^2 x\,:</math>
:: <math>\mbox{tan}^2 + 1 = \mbox{sec}^2 x\,:</math>
:Dividindo <math>\cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = 1\,</math> por <math>\mathrm{sen}\,^2 x\,:</math>
:: <math>\mbox{cotan}^2 + 1 = \mbox{cosec}^2 x\,</math>
 
== Exercícios ==
* [[Matemática elementar/Trigonometria/Funções trigonométricas/Exercícios]]
 
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