Matemática elementar/Trigonometria/Funções trigonométricas: diferenças entre revisões
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== Definição ==
Funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelagem de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões de dois lados de um triângulo retângulo, contendo o ângulo ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário ou, de forma ainda mais geral, como séries infinitas ou como soluções para certas equações diferenciais.
* coseno (<math>\cos \,\!</math>)
* tangente (<math>\tan \,\!</math>)
As últimas quatro funções são definidas nos termos das primeiras duas. Por outras palavras, as quatro equações em baixo são definições e não identidades demonstradas.
* secante <math>\left(\sec x = {1 \over \cos x}\right)</math>
* cosecante <math>\left(\csc x= {1 \over \mathrm{sen}\, x}\right)</math>
* cotangente <math>\left(\cot x = {\cos x \over \mathrm{sen}\, x}\right)</math>
O seno, o cosseno e a tangente são as mais importantes.
As inversas destas funções são geralmente designadas de arco-''função'', isto é, ''arcsin'', ''arccos'', etc., ou adicionando o expoente ''-1'' ao nome, como em ''sen<sup>-1</sup>'', ''cos<sup>-1</sup>'', etc. O resultado da função inversa é o ângulo que corresponde ao parâmetro da função. Por exemplo, arcsen(1) = 90°.
=== Trigonometria do triângulo retângulo ===
[[Ficheiro:Direct_trg.svg|300px|left]]
As funções trigonométricas são oriundas das razões dos lados dos triângulos. Com base no triângulo retângulo ao lado, o segmento <math> \overline{OB}</math> é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90°), o segmento <math> \overline{OA}</math> é o cateto adjacente (ao lado) do ângulo α e <math> \overline{AB}</math> é o cateto oposto ao ângulo α:
{|
|
:<math> \sen \alpha = \frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{hipotenusa}}</math>
|
:<math> \csc \alpha = \frac { \mbox{hipotenusa}} { \mbox{cateto oposto}}</math>
|-
|
:<math> \cos \alpha = \frac { \mbox{cateto adjacente}} { \mbox{hipotenusa}}</math>
|
:<math> \sec \alpha = \frac { \mbox{hipotenusa}} { \mbox{cateto adjacente}}</math>
|-
|
:<math> \tan \alpha = \frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{cateto adjacente}}</math>
|
:<math> \cot \alpha = \frac { \mbox{cateto adjacente}} { \mbox{cateto oposto}}</math>
|}
Tais funções são constantes para um mesmo ângulo α, pois dois triângulos formados pelos mesmos ângulos mantêm suas proporções.
As funções trigonométricas são utilizadas em geometria, portanto, para determinar um lado ou um ângulo de um triângulo.
{{ênfase| '''Exemplo''' - A hipotenusa de um triângulo retângulo de ângulos 30° e 60° é igual a 5 centímetros. Qual à medida do cateto oposto ao ângulo de 30°?
:<math> \sen \alpha = \frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{hipotenusa}} \to \sen 30 = \frac { \mbox{cateto oposto}} {5} \to 0,5 = \frac { \mbox{cateto oposto}} {5} \to \mbox{cateto oposto} = 2,5 </math>}}
== Seno, cosseno e tangente dos ângulos ==
Na tabela abaixo, temos o seno, cosseno e tangente dos principais ângulos em decimais:
{| class="wikitable" width="100%"
!
! 0°
! 5°
! 10°
! 15°
! 20°
! 25°
! 30°
! 35°
! 40°
! 45°
! 50°
! 55°
! 60°
! 65°
! 70°
! 75°
! 80°
! 85°
! 90°
|-
! Seno
| 0
| 0,08
| 0,17
| 0,25
| 0,34
| 0,42
| 0,5
| 0,57
| 0,64
| 0,7
| 0,76
| 0,81
| 0,86
| 0,9
| 0,93
| 0,96
| 0,98
| 0,99
| 1
|-
! Cosseno
| 1
| 0,99
| 0,98
| 0,96
| 0,93
| 0,9
| 0,86
| 0,81
| 0,76
| 0,7
| 0,64
| 0,57
| 0,5
| 0,42
| 0,34
| 0,25
| 0,17
| 0,08
| 0
|-
! Tangente
| 0
| 0,08
| 0,17
| 0,26
| 0,36
| 0,46
| 0,57
| 0,7
| 0,83
| 1
| 1,19
| 1,42
| 1,73
| 2,14
| 2,74
| 3,73
| 5,67
| 11,43
| -
|}
Veja que os valores crescentes de sen ''x'' são os mesmos para cos ''x'', entretanto são decrescentes. Além disso, a maioria dos senos, cossenos e tangentes dos ângulos são números irracionais. São, portanto, com infinitas casas decimais não periódicas. Todavia, pode-se obter o valor exato das funções trigonométricas em uma forma algébrica. Você pode [http://en.wikipedia.org/wiki/Exact_trigonometric_constants conferir a forma algébrica de alguns ângulos clicando aqui (em inglês)]
=== Ângulos notáveis ===
[[File:603090 triangle.png|right|250px]]
Os ângulos notáveis (0°, 30°, 45°, 60° e 90°) são ângulos que se pode facilmente obter a forma algébrica por meio de triângulos retângulos. Consideremos um triângulo retângulo que corresponde à metade de um triângulo equilátero de lado 1 uc. Tem, portanto, sua hipotenusa ''c'' igual a 1, seu lado ''a'' igual a 0,5 uc e seu lado ''b'' igual a altura do triângulo equilátero, 0,5 {{math|{{raiz|3}}}} uc. Assim:
:<math> \sin 30 = \cos 60 = \frac a c = \frac {0,5} 1 = \frac 1 2</math>
Que é o seno de 30° e o cosseno de 60°. O seno de 60° e o cosseno de 30° são obtidos de forma similar:
:<math> \sin 60 = \cos 30 = \frac b c = \frac { 0,5 \sqrt 3} 1 = \frac {\sqrt 3} 2</math>
E assim é possível obter as demais funções trigonométricas para 30° e 60°. Para 45°, considera-se um triângulo retângulo igual à metade de um quadrado de lado 1 uc. Tem, então, hipotenusa de medida {{math|{{raiz|2}}}} uc - a diagonal do quadrado - e os catetos de medida 1 uc - os lados do quadrado:
:<math> \sin 45 = \cos 45 = \frac 1 { \sqrt 2} = \frac {\sqrt 2} 2</math>
De forma mais simples, os valores do seno dos cinco ângulos notáveis é o quociente entre ''x'' e ''2'', em que ''x'' é a raiz de cada um dos cinco termos a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, a<sub>4</sub> e a<sub>5</sub> de uma progressão aritmética em que a<sub>1</sub> = 0 e a razão é igual a +1. O cosseno destes ângulos é a ordem decrescente da progressão:
{| class="wikitable" width="30%"
!
! 0°
! 30°
! 45°
! 60°
! 90°
|-
! PA
| <math> \frac { \sqrt 0} 2</math>
| <math> \frac { \sqrt 1} 2</math>
| <math> \frac { \sqrt 2} 2</math>
| <math> \frac { \sqrt 3} 2</math>
| <math> \frac { \sqrt 4} 2</math>
|-
! Seno =
| <center><math>0</math></center>
| <center><math>\frac 1 2</math></center>
| <math>\frac { \sqrt 2} 2</math>
| <math>\frac { \sqrt 3} 2</math>
| <center><math>1</math></center>
|-
! Cosseno =
| <center><math>1</math></center>
| <math>\frac { \sqrt 3} 2</math>
| <math>\frac { \sqrt 2} 2</math>
| <center><math>\frac 1 2</math></center>
| <center><math>0</math></center>
|}
A tangente é obtida pela dividindo-se o seno do respectivo ângulo pelo seu cosseno, pois:
:<math> \frac {\sin} {\cos} = \frac {\frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{hipotenusa}}} {\frac { \mbox{cateto adjacente}} { \mbox{hipotenusa}}} = \frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{cateto adjacente}} = \tan </math>
Que resulta:
{| width="75%"
|
:<math> \tan 0 = 0</math>
|
:<math> \tan 30 = \frac {\sqrt 3} 3</math>
|
:<math> \tan 45 = 1</math>
|
:<math> \tan 60 = \sqrt 3</math>
|
:<math> \tan 90 = -</math>
|}
A tangente de 90° não é definida, pois é impossível que o ângulo entre a hipotenusa e os catetos seja 90°.
== Círculo trigonométrico ==
Considerando um círculo de 1 uc de raio, este tem sua circunferência igual a 2π uc. Portanto, um setor de um grau deste círculo corresponde a:
:<math> \frac {2 \pi} {360} \mathrm {uc} = \frac {\pi} {180} \mathrm {uc}</math>
Podemos transformar a unidade de medida ''uc'' (unidades de comprimento) em ''rad'' (radianos). Assim, podemos dizer que:
:<math>1^{\circ} = \frac {\pi} {180} \mathrm {rad} </math>
Colocando os ângulos notáveis neste círculo obtêm-se os valores (x; y) em que ''x'' é o cosseno do ângulo e ''y'' o seno:
[[File:Unit circle angles.svg|400px|center]]
Observa-se em tais valores que à medida em que os ângulos avançam de quadrante os valores de seno e cosseno tem seu sinal alternado. É perfeitamente notável que tais funções seguem, então, uma periodicidade infinita, e seus valores repetiram a cada volta do círculo. Deste mesmo círculo, pode-se obter as demais funções trigonométricas, que não são mais que relações do triângulo retângulo entre a origem, a coordenada e ponto (x; 0):
[[File:Circunferência trigonométrica.svg|400px|center]]
==
Podemos colocar as funções trigonométricas em um plano cartesiano, em que o eixo das abcissas equivale ao ângulo em radianos e o eixo das ordenadas ao contradomínio da função.
===
Colocando-se os resultados obtidos para a função seno num plano, obteremos:
[[File:Sine.svg|600px|center]]
Observe que a função seno é uma função ímpar, pois ''sen (-x) = -sen x'', qualquer que seja ''x'' pertencente aos números reais. Note que esta função é composta por infinitos intervalos 2π. Dizemos, então, que o período da função ''sen (x)'' é 2π. Quanto ao contradomínio, ele pertence ao intervalo [-1; 1]. A distância entre o centro e o limite da função é a '''amplitude'''. Neste caso, a amplitude da função é igual a 1. O gráfico da função seno forma uma '''senoide'''. Pode-se determinar o seno de qualquer ângulo através das seguintes equações:
{| width="70%"
|
:<math>x \lbrace x \in \mathbb{R} | 0 < x \le 90 \rbrace \equiv y - 90 (4z + w)</math>
:<math>x \left \{ x \in \mathbb{R} | 0 < x \le \frac {\pi} 2 \right \} \equiv y - \frac {\pi} 2 (4z + w)</math>
|
Para as quais:
:<math>
\sin y
\begin{cases}
Linha 338 ⟶ 232:
w = 3 \to - \cos x
\end{cases}
</math>
|}
Onde ''y'' é um ângulo qualquer e ''z'' um número inteiro.
{{ênfase| 1= '''Exemplo''' - Qual o seno de 500°?
:<math>x \lbrace x \in \mathbb{R} | 0 < x \le 90 \rbrace \equiv 500 - 90 (4z + w)</math>
Linha 347 ⟶ 243:
Já que ''w = 1'', então o seno de 500° é igual ao cosseno de 50°, que temos na primeira tabela desta página. Portanto, o seno de 500° é 0,64.}}
=== Cosseno ===
[[File:Cosine.svg|600px|center]]
Esta é uma função par, pois ''cos (-x) = cos x'', qualquer que seja ''x'' pertencente ao conjunto dos números reais. Igual à função seno, a função cosseno tem período igual a 2π e amplitude igual a 1. O gráfico da função cosseno forma uma '''cossenoide'''. De forma similar à função seno, podemos transformar qualquer ângulo real para ''0° < x ≤ 90°'' e assim obter seu cosseno:
{| width="70%"
|
:<math>x \lbrace x \in \mathbb{R} | 0 < x \le 90 \rbrace \equiv y - 90 (4z + w)</math>
:<math>x \left \{ x \in \mathbb{R} | 0 < x \le \frac {\pi} 2 \right \} \equiv y - \frac {\pi} 2 (4z + w)</math>
|
Para as quais:
:<math>
\cos y
\begin{cases}
Linha 368 ⟶ 265:
w = 3 \to \sin x
\end{cases}
</math>
|}
Onde ''y'' é um ângulo qualquer e ''z'' um número inteiro.
{{ênfase| 1= '''Exemplo''' - Qual o maior ângulo negativo no qual seu cosseno é igual ao seno de 30°?
Linha 378 ⟶ 277:
:<math>30 \equiv y + 90 \to y = -60</math>}}
=== Tangente ===
[[File:Tangent-plot.svg|600px|center]]
A função tangente é uma função ímpar pois é o quociente de uma função ímpar e uma função par. É, pois, tan (-x) = - tan x {x ∈ R}. O período desta função é igual a π, e sua amplitude estende-se ao infinito. O gráfico da função tangente forma uma '''tangentoide'''. Para determinar a tangente de um ângulo qualquer, temos, para ''0° ≤ x < 90°'':
:<math>
\tan y
\begin{cases}
Linha 391 ⟶ 291:
180z + 90 \le y < 180 (z + 1) \to |y - 180 (z + 1)| = x \to \tan y = -\tan x
\end{cases}
</math>
Onde ''y'' é um ângulo qualquer e ''z'' um número inteiro.
{{ênfase| 1= '''Exemplo''' - A tangente do ângulo 20° é igual à tangente de -200°?
Linha 405 ⟶ 306:
}}
=== Características ===
[[File:Amplitude and wavelength.png|350px|right|thumb|Nesta imagem, '''a''' é a amplitude e '''b''' o período.]]
Dados ''a'' + ''b'' sen (''cx'' - ''dπ'') ou ''a'' + ''b'' cos (''cx'' - ''dπ''), que são as equações da senoide e da cossenoide, respectivamente, determina-se:
*'''a + b''' e '''a - b''' - os limites (0; a+b) e (0; a-b) da função trigonométrica, equivalente ao conjunto imagem ''Im = [a+b; a-b]'';
*'''2π ÷ c''' - o período da função;
*'''d''' - o deslocamento horizontal da função trigonométrica.
A partir destes valores tem-se a amplitude (A), dada pela média aritmética da distância entre as ordenadas dos limites:
:<math>A = \frac {|a + b| + |a - b|} {2}</math>
== Propriedades ==
=== Cosseno ao quadrado mais seno ao quadrado ===
[[Imagem:Defining sin and cosine.png|frame|right|Definição de seno e cosseno]]
Diretamente da figura que define seno e cosseno (ao lado), temos, pelo triângulo retângulo no primeiro quadrante, que:
* <math>(\cos x)^2 + (\mathrm{sen}\, x)^2 = 1^2\,</math>
É convencional escrever o quadrado de uma função trigonométrica colocando-se o sinal imediatamente ao lado do nome da função. Assim, esta relação é escrita:
* <math>\cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = 1\,.</math>
A geometria do triângulo retângulo prova esta relação no caso de <math>0 < x < \pi/2\,,</math> ou seja, para ângulos no primeiro quadrante. Nos casos <math>x = \pi/2, \pi \mbox{ ou } 3 \pi / 2\,,</math> temos que um deles (seno ou cosseno) vale 1, e o outro vale 0, logo a soma dos seus quadrados é 1.
Nos demais casos, temos:
: Se ''x'' está no segundo quadrante, então <math>y = \pi/2 - x\,</math> está no primeiro quadrante, e:
:: <math>\cos x = - \cos(\pi/2 - x)\,:</math> : <math>\mathrm{sen}\, x = \mathrm{sen}\,(\pi/2 - x)\,:</math> portanto:
:: <math>\cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = \cos^2 (\pi/2 - x) + \mathrm{sen}\,^2 (\pi/2 - x) = \cos^2 y + \mathrm{sen}\,^2 y = 1\,</math>
Analogamente:
: Se ''x'' está no terceiro quadrante, então <math>y = x - \pi\,</math> está no primeiro quadrante, e:
:: <math>\cos x = - \cos(x - \pi)\,:</math> : <math>\mathrm{sen}\, x = - \mathrm{sen}\,(x - \pi)\,:</math> portanto:
:: <math>\cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = \cos^2 (x - \pi) + \mathrm{sen}\,^2 (x - \pi) = \cos^2 y + \mathrm{sen}\,^2 y = 1\,</math>
Finalmente:
: Se ''x'' está no quarto quadrante, então <math>y = -x\,</math> está no primeiro quadrante, e:
:: <math>\cos x = \cos(-x)\,:</math> : <math>\mathrm{sen}\, x = - \mathrm{sen}\,(-x)\,:</math> portanto:
:: <math>\cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = \cos^2 (-x) + \mathrm{sen}\,^2 (-x) = \cos^2 y + \mathrm{sen}\,^2 y = 1\,</math>
Ou seja, a relação
: <math>cos^2 x + sen^2 x = 1\,</math>
é válida para qualquer ângulo real ''x''.
=== Propriedades do quadrado da secante e da cossecante ===
Lembrando que:
: <math>\mbox{sec} x = \frac{1}{\cos x}\,:</math> <math>\mbox{cosec} x = \frac{1}{\mathrm{sen}\, x}\,:</math> <math>\mbox{tan} x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x}\,:</math> <math>\mbox{cotan} x = \frac{\cos x}{\mathrm{sen}\, x}\,</math>
temos que:
:: <math>\mbox{tan}^2 + 1 = \mbox{sec}^2 x\,:</math>
:Dividindo <math>\cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = 1\,</math> por <math>\mathrm{sen}\,^2 x\,:</math>
:: <math>\mbox{cotan}^2 + 1 = \mbox{cosec}^2 x\,</math>
== Exercícios ==
* [[Matemática elementar/Trigonometria/Funções trigonométricas/Exercícios]]
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