Matemática financeira/Descontos: diferenças entre revisões

[edição não verificada][edição não verificada]
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
→‎Desconto Comercial Simples e Composto: Correção da última edição.
Correções e maiores explicações. Revisão drástica
Linha 1:
O '''desconto''' é uma compensação recebida pelo tomador do empréstimo, pelo pagamento adiantado da dívida. Existem basicamente dois tipos de desconto, o desconto racional, e o desconto comercial. Os dois tipos podem ser divididos também em desconto simples e desconto composto.
 
O termo "desconto" também se aplica a antecipação de recebíveis (operação de crédito). Como exemplo clássico podemos citar o "desconto de cheques pré-datados", comum no sistema bancário.
==Desconto Racional Simples e Composto==
O que melhor pode ser dito sobre o desconto racional, tanto o simples quanto o composto, é "o desconto racional é juro". Ele é obtido exatamente da mesma forma que o juro, com a diferença que o desconto corresponde a uma descapitalização. Assim, para obter o valor <math>D\,\!</math> do desconto racional simples a ser concedido sobre o valor nominal <math>N\,\!</math> de um título que vence em <math>n\,\!</math> períodos, sobre o qual se paga uma taxa de juros <math>n\,\!</math>, usamos como taxa de desconto a taxa de juros, e calculamos o valor do desconto com a seguinte fórmula:
 
Nos casos de desconto, toda dívida, título, recebível possui um valor nominal, ou seja, o valor original que seria cobrado ou pago na data de vencimento.
<math>D=A\times d \times n</math>
 
O valor nominal (<math>N\,\!</math>), taxa de juros aplicada na operação de desconto (<math>i
e
</math>) e o período de antecipação (<math>n\,\!</math>), representado são os elementos necessários para o cálculo do desconto (<math>D</math>). No cálculo do desconto, é possível obter o valor atual (<math>A</math>) da dívida ou título, ou seja, o valor pago, antecipadamente, na operação de desconto.
 
Existem basicamente dois tipos de desconto, o desconto racional, e o desconto comercial. Os dois tipos podem ser aplicados em operações de juros simples (desconto simples) e de juros compostos (desconto composto).
<math>A=\frac{N}{(1+dn)}\,\!</math>
 
==Desconto Racional==
Se o desconto racional a ser aplicado é o composto, então utilizamos a mesma equação da descapitalização no juro composto (chamando de <math>A\,\!</math> o valor a ser pago):
No desconto racional, o cálculo é realizado com os mesmos critérios do calculo de juros. A diferença é que o desconto corresponde a uma operação descapitalização.
 
Ou seja, é necessário "retroceder" a capitalização calculada para o período de antecipação.
<math>A=\frac{N}{(1+d)^n}\,\!</math>
 
=== Desconto Racional Simples e Composto===
O valor do desconto pode ser obtido com a equação equivalente do montante:
O que melhor pode ser dito sobre o desconto racional, tanto o simples quanto o composto, é "o desconto racional é juro". Ele é obtido exatamente da mesma forma que o juro, com a diferença que o desconto corresponde a uma descapitalização. Assim, paraPara obter o valor <math>D\,\!</math> do desconto racional simples (operação de juros simples) a ser concedido sobre o valor nominal <math>N\,\!</math> de um título que vence em <math>n\,\!</math> períodos, sobre o qual se paga uma taxa de juros simples <math>n\,\!i</math>, usamos como taxa de desconto a taxa de juros, e calculamos o valor do desconto é calculado com a seguinte fórmula:
 
<math>ND =A +\frac{N\times i D\,times n}{1+(i\!times n)}</math>
Esta fórmula possui fácil dedução, utilizando o valor atual <math>A</math> como parâmetro, aplicando o juros simples sobre ele para obter o valor futuro, ou nominal <math>N\,\!</math>
 
<math>N = A + (A\times (i \times n) )</math> ou, simplesmente, <math>N = A\times (1 + i \times n) </math> ,ou seja, <math>A = \frac{N}{1+(i\times n)}</math>
O desconto racional também é chamado de desconto verdadeiro, desconto justo, desconto real e desconto por dentro.
Sabendo que o desconto <math>D\,\!</math> é justamente a diferença entre o valor nominal <math>N\,\!</math> e o valor atual <math>A</math>,
 
<math>D =A\times dN \times- nA</math>
==Desconto Comercial Simples e Composto==
Basta realizar as devidas substituições para dedução da fórmula de desconto racional simples.
O desconto comercial, que também se pode chamar desconto por fora, difere do desconto racional principalmente por que se trata de uma taxa aplicada ao valor nominal do título. Não é uma descapitalização, como no caso do desconto racional, e as equações do desconto comercial, são diferentes das equações dos descontos racionais.
 
=== Desconto Racional Composto ===
O desconto comercial simples é o tipo de desconto aplicado no comércio, e a taxa de desconto é única para cada prazo determinado. Assim, um título pago com 1 mês de antecedência deve ser descontado a uma taxa diferente de um título pago com 3 meses de antecedência. Vamos às equações.
Para obter o valor <math>D\,\!</math> do desconto racional composto (operação de juros composto), o mesmo princípio pode ser aplicado. Considerando valor nominal <math>N\,\!</math> de um título que vence em <math>n\,\!</math> períodos, sobre o qual se paga uma taxa de juros compostos <math>c</math>, calculamos o valor do desconto com a seguinte fórmula
 
<math>AD=\frac{N\times c^n }{(1+dnc)^n}\,\!</math>
O valor do desconto é obtido diretamente do produto da taxa de desconto ao valor nominal do título:
A fórmula também deriva do calculo do valor atual, agora com juros compostos
 
<math>N = A\times (1+c)^n</math> ,ou seja, <math>A = \frac{N}{(1+c)^n}</math>
Considerando que o desconto concedido <math>D\,\!</math> também é a diferença entre o valor nominal <math>N\,\!</math> e o valor atual <math>A</math>, a dedução da fórmula de desconto racional composto se torna possível.
 
==Desconto Comercial Simples e Composto==
O desconto comercial, que também sechamado pode"desconto por fora" chamarou "desconto porcomercial forasimples", difere do desconto racional principalmente por que se trata de uma taxa aplicada ao valor nominal do título. NãoEm éseu cálculo, '''não ocorre''' uma descapitalização, como no caso do desconto racional,. e as equações do desconto comercial, são diferentes das equações dos descontos racionais.
 
O valor do desconto <math>D\,\!</math> é obtido diretamente dopela produtoaplicação da taxa de desconto <math>d</math>, ao valor nominal <math>N\,\!</math> do título:
 
<math>D=N\times d\,\!</math>
 
O valor atual<math>A</math>, ou valor a ser pago pelo título, é o valor nominal, descontado:
 
<math>A =N-N\times d\,\!</math>
 
ou
 
<math>A=N(1-d)\,\!</math>
 
O desconto comercial também é chamado de desconto for fora.{{AutoCat}}
Por ter calculo mais simples, foi adotado pelo comércio, daí sua nomenclatura. Porém, seu valor atual será menor que o valor atual calculado com desconto racional considerando a mesma taxa de juros.
 
Portanto, o desconto comercial não pode ser considerado matematicamente correto.{{AutoCat}}