Matemática elementar/Logaritmos: diferenças entre revisões
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Linha 89:
== Operações com logaritmos ==
Existem várias regras que visam facilitar a resolução de logaritmos. Para as demonstrações a seguir, consideraremos '''log<sub>c</sub>a = x''', e '''log<sub>c</sub>b = y'''. Assim, '''c<sup>x</sup> = a''', e '''c<sup>y</sup> = b'''.
=== Soma
{{ênfase|A soma de logaritmos de mesma base é igual ao logaritmo do produto de seus logaritmandos:
:<math>\log_{c}a + \log_{c}b = \log_{c}(a \cdot b)</math>}}
Demonstração:
*Podemos utilizar a propriedade do produto de potências:
: <math>a \cdot b = c^x \cdot c^y = c^{(x + y)}\,</math>
*Convertemos o último resultado de potência para logaritmo:
: <math>\log_c (c^x \cdot c^y) = x + y\,</math>
*Como c<sup>x</sup> = a, c<sup>y</sup> = b, log<sub>c</sub>a = x e log<sub>c</sub>b = y, substiuímos termos correspondentes:
: <math>\log_c (a \cdot b) = \log_c a + \log_c b\,</math>
=== Multiplicação por constante ===
{{ênfase|O produto de um logaritmo por uma constante (ou qualquer função real) é o logaritmo do logaritmando elevado a esta constante:
:<math>k \cdot \log_{c}a = \log_{c}a^k</math>}}
Demonstração:
*A partir de:
: <math>a^k = {(c^x)}^k = c^{(k \cdot x)}\,</math>
*Transformamos o último resultado em logaritmo:
: <math>\log_c {(c^x)}^k = k \cdot x\,</math>
*Substituindo os termos correspondentes:
: <math>\log_c a^k = k \cdot \log_c a\,</math>
=== Subtração ===
{{ênfase|A diferença de logaritmos de mesma base é igual ao quociente de seus logaritmandos:
:<math>\log_{c}a - \log_{c}b = \log_{c} \frac{a}{b}</math>}}
Demostração:
*Podemos transformar a expressão na seguinte forma:
:
*Assim, temos uma soma de logaritmos, sendo que um deles está multiplicado por uma constante (-1). Aplicaremos, então, a propriedade do produto por uma constante:
:<math>\log_{c}a + (-1 \log_{c}b) = \log_{c}a + \log_{c}b^{-1}</math>
*Utilizado a propriedade do expoente negativo, teremos:
:<math>\log_{c}a + \log_{c}b^{-1} = \log_{c}a + \log_{c} \frac {1}{b}</math>
*Considerando a propriedade da soma de logaritmos:
:<math>\log_{c}a + \log_{c} \frac {1}{b} = \log_{c}a \cdot \frac {1}{b}</math>
*Portanto:
:<math>\log_{c} \frac {a}{b} = \log_{c}a - \log_{c}b</math>
=== Mudança de base ===
{{ênfase|Um logaritmo A qualquer é igual a uma fração de dois logaritmos de mesma base, na qual o logaritmando do denominador é igual ao logaritmando de A, e o logaritmando do numerador é igual a base de A:
:
Sendo que c>0.}}
*Consideraremos os valores para a demonstração:
:<math>\log_c a = x \to c^x = a</math> (I)
:
Demonstração:
*Para chegar ao resultado da expressão, tomamos o seguinte valor inicial:
:<math> b^1 = b \to \log_b b = 1 </math>
*Multiplicaremos as duas últimas equações por x/y:
:<math> \frac {x} {y} \log_b b = \frac {x} {y} </math>
*Aplicaremos a propriedade da multiplicação por constante na primeira equação:
:<math> \log_b b^{\frac {x} {y}} = \frac {x} {y} </math>
*Usaremos a propriedade da potência de uma potência (multiplicação de expoentes):
:<math> \log_b (b^{ \frac {1} {y}})^{x} = \frac {x} {y} </math>
*Substituímos com o resultado em (II):
:<math> \log_b c^x = \frac {x} {y} </math>
*Sabemos c<sub>x</sub> em (I):
:<math> \log_b a = \frac {x} {y}</math>
*Substituimos x pela primeira equação de (I) e y pela primeira equação de (II):
:<math> \log_b a = \frac {\log_c a} {\log_c b}</math>
Que prova a igualdade da propriedade.
== Equações envolvendo logaritmos ==
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