Matemática elementar/Logaritmos: diferenças entre revisões
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Linha 162:
:<math> \log_b a = \frac {\log_c a} {\log_c b}</math>
Que prova a igualdade da propriedade.
== Outras propriedades ==
As quatro propriedades descritas anteriormente (soma, subtração, multiplicação e mudança de base) são fundamentais para o cálculo de logaritmos. Existem outras propriedades que podem ser deduzidas através das operações, que auxiliam em problemas que envolvem logaritmos. São elas:
=== Inversão do logaritmando ===
Esta propriedade foi utilizada anteriormente na demonstração da substração de logaritmos de mesma base. Pela propriedade, temos que:
{{ênfase|Um logaritmo A qualquer é igual ao logaritmo -A com o logaritmando invertido:
:<math>A = \log \frac x y \to -A = \log \frac y x</math>}}
Demonstração:
*Multiplicando A = log (x/y) por -1, teremos:
:<math>-A = -\log \frac x y</math>
*Utilizando a propriedade da multiplicação por constante:
:<math>-A = \log \left ( \frac x y \right )^{-1}</math>
*Que resulta em
:<math>-A = \log \frac y x</math>
=== Bases com expoentes ===
{{ênfase| Um logaritmo A qualquer de base ''b<sup>c</sup>'' é igual a um logaritmo cA de base ''b'':
:<math>A = \log_{b^c} x \to cA = \log_b x</math>}}
Demonstração:
*Pela propriedade da mudança de base, temos que:
:<math>\log_{b^c} x = \frac {\log_b x} {\log_b b^c}</math>
*Podemos retirar ''c'' do logaritmando pela propriedade da multiplicação por constante:
:<math>\log_{b^c} x = c \frac {\log_b x} {\log_b b}</math>
*Temos um caso de logaritmos em que a base é igual ao logaritmando (log<sub>b</sub> b), que é igual a 1:
:<math>\log_{b^c} x = c \log_b x</math>
*Que prova a propriedade. Perceba, ainda, que é possível utilizar a propriedade da multiplicação por constante novamente:
:<math>\log_{b^c} x = \log_b x^c</math>
=== Troca da base pelo logaritmando ===
{{ênfase| Um logaritmo A qualquer de base ''b'' e logaritmando ''x'' é igual a um logaritmo 1/A de base ''x'' e logaritmando ''b'':
:<math>A = \log_b x \to \frac 1 A = \log_x b</math>}}
Demonstração:
*Pela propriedade da mudança de base, temos que:
:<math>\log_b x = \frac {\log_x x} {\log_x b}</math>
*Ocorreu o caso de um logaritmo no qual a base é igual ao logaritmando (log<sub>x</sub>x), que é igual a 1:
:<math>\log_b x = \frac {1} {\log_x b}</math>
*Elevando-se a equação a -1, podemos reescrevê-la
:<math>\frac {1} {\log_b x} = {\log_x b}</math>
== Equações envolvendo logaritmos ==
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