Matemática elementar/Logaritmos: diferenças entre revisões

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:<math>\sqrt [3] 8 = 2</math>
:<math>\log_{2}8 = 3</math>
 
Neste caso, dizemos que 2 é a '''base''' e 8 é o '''logaritmando'''. Assim, 3 é o logaritmo de 8 na base 2.
 
Observação: quando o valor da base não está explicita, considera-se 10 para a base:
:<math> \log x = \log_{10} x</math>
 
== Equações envolvendo logaritmos ==
 
Na resolução de equações envolvendo logaritmos é de grande ajuda em certas situações usar princípios de equações exponenciais. UmPor exemplo bom é a equação:
:<math>625^x= 0,008</math>
Que pode ser entendida como:
:<math>\log_{625}0,008 = x</math>
Esse tipo de comparação facilita a compreensão do problema em questão e de muitos outros semelhantes.
 
== Função logaritmica ==
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Veja que os valores de ''f (x)'' possuem alternância de sinal, o que faz haver descontinuidade. Desta forma, uma função do tipo log<sub>a</sub> b = c em que ''a'' < 0 não apresentaria um gráfico, e portanto, não existe. Esta é uma regra: a base não pode ser negativa!
 
Consequentemente, o logaritmando jamais será negativo, pois potências negativas existem somente se a base é negativa e o expoente é ímpar.
 
=== Estudo de casos ===
 
Vejamos alguns casos que envolvam logaritmos:
 
{{ênfase|'''Base igual ao logaritmando''': <math>\log_x x = 1, \{x \in \mathbb R | x>0\} </math>}}
:Temos que '''log<sub>x</sub> x = y''' é o mesmo que '''x<sup>y</sup> = x'''. Pensemos, qual expoente que elevado a uma base qualquer produz uma potência igual a base? O único expoente que satisfaz esta condição é 1, portanto log<sub>x</sub> x = 1.
 
{{ênfase|'''Base inversa ao logaritmando''': <math>\log_x \frac 1 x = -1, \{x \in \mathbb R | x>0\} </math>}}
:Sabemos que '''log<sub>x</sub> 1/x = y''' é igual a '''x<sup>y</sup> = 1/x'''. O único expoente que elevado a uma base qualquer que produz uma potência inversa a base é -1. Logo, log<sub>x</sub> 1/x = -1.
 
{{ênfase|'''Logaritmando igual a 1''': <math>\log_x 1 = 0, \{x \in \mathbb R | x>0\} </math>}}
:Já que '''log<sub>x</sub> 1 = y''' é o mesmo que '''x<sup>y</sup> = 1''', devemos pensar quais expoentes deixam qualquer base real positiva igual a 1. O único expoente é o zero, assim, log<sub>x</sub> 1 = 0.
:<math></math>
 
== Operações com logaritmos ==
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*Que prova a propriedade. Perceba, ainda, que é possível utilizar a propriedade da multiplicação por constante novamente:
:<math>\log_{b^c} x = \log_b x^c</math>
 
{{Quadro||pontilhado=sim
|1 = Exemplo de aplicação
|2 =
Esta propriedade pode ser aplicada para facilitar a soma ou subtração de logaritmos de bases diferentes. Exemplo:
:<math>\log_{2}16log_4 =x + \log_2 x = y</math>
A propriedade da soma não pode ser utilizada pois as bases dos logaritmos são diferentes. Então colocaremos um expoente na base de modo que estas, posteriormente, fiquem iguais:
:<math>\log_{2^2} x + \log_2 x = y</math>
Aplicando a propriedade da base com expoente:
:<math>\log_2 x^2 + \log_2 x = y</math>
E por fim, poderemos utilizar a propriedade da soma para descobrir ''y'':
:<math>\log_2 (x^2 \cdot x) = y</math>
:<math> y = \log_2 x^3</math>}}
 
=== Troca da base pelo logaritmando ===
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*Elevando-se a equação a -1, podemos reescrevê-la
:<math>\frac {1} {\log_b x} = {\log_x b}</math>
 
== Equações envolvendo logaritmos ==
 
Na resolução de equações envolvendo logaritmos é de grande ajuda em certas situações usar princípios de equações exponenciais. Um exemplo bom é a equação:
:<math>625^x= 0,008</math>
Que pode ser entendida como:
:<math>\log_{625}0,008 = x</math>
Esse tipo de comparação facilita a compreensão do problema em questão e de muitos outros semelhantes.
 
=== Logaritmos e raízes ===
 
Quando temos uma equação do tipo <math>\log_{b}a = x</math>, devemos buscar um número <math>x</math> ao qual devemos elevar <math>b</math> de modo a obter o resultado <math>a</math>. Exemplo:
 
:<math>\log_{2}16 = x</math>
Como <math>2^4 = 16</math>, da definição de logaritmo resulta que <math>x = 4</math>.
 
== Cologaritmos ==
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Cologaritmos são definidos pela seguinte expressão:
:<math> \mbox{colog}\,\frac{x}{y} = - \log \frac{x}{y}</math>
Pela propriedade da multiplicaçãoinversão pordo constantelogaritmando, podemos definireescrevê-lolos como:
:<math> \mbox{colog}\,\frac{x}{y} = \log \left ( \frac{x}{y} \right ) ^{-1}</math>
E então:
:<math> \mbox{colog}\,\frac{x}{y} = \log \frac {y} {x}</math>
:<math></math>
 
== Exercícios ==