Matemática elementar/Logaritmos: diferenças entre revisões
[edição verificada] | [edição verificada] |
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
Sem resumo de edição |
|||
Linha 20:
:<math>\sqrt [3] 8 = 2</math>
:<math>\log_{2}8 = 3</math>
Neste caso, dizemos que 2 é a '''base''' e 8 é o '''logaritmando'''. Assim, 3 é o logaritmo de 8 na base 2.
Observação: quando o valor da base não está explicita, considera-se 10 para a base:
:<math> \log x = \log_{10} x</math>
== Equações envolvendo logaritmos ==▼
Na resolução de equações envolvendo logaritmos é de grande ajuda em certas situações usar princípios de equações exponenciais.
:<math>625^x= 0,008</math>▼
Que pode ser entendida como:▼
:<math>\log_{625}0,008 = x</math> ▼
Esse tipo de comparação facilita a compreensão do problema em questão e de muitos outros semelhantes.▼
== Função logaritmica ==
Linha 90 ⟶ 99:
Veja que os valores de ''f (x)'' possuem alternância de sinal, o que faz haver descontinuidade. Desta forma, uma função do tipo log<sub>a</sub> b = c em que ''a'' < 0 não apresentaria um gráfico, e portanto, não existe. Esta é uma regra: a base não pode ser negativa!
Consequentemente, o logaritmando jamais será negativo, pois potências negativas existem somente se a base é negativa e o expoente é ímpar.
=== Estudo de casos ===
Vejamos alguns casos que envolvam logaritmos:
{{ênfase|'''Base igual ao logaritmando''': <math>\log_x x = 1, \{x \in \mathbb R | x>0\} </math>}}
:Temos que '''log<sub>x</sub> x = y''' é o mesmo que '''x<sup>y</sup> = x'''. Pensemos, qual expoente que elevado a uma base qualquer produz uma potência igual a base? O único expoente que satisfaz esta condição é 1, portanto log<sub>x</sub> x = 1.
{{ênfase|'''Base inversa ao logaritmando''': <math>\log_x \frac 1 x = -1, \{x \in \mathbb R | x>0\} </math>}}
:Sabemos que '''log<sub>x</sub> 1/x = y''' é igual a '''x<sup>y</sup> = 1/x'''. O único expoente que elevado a uma base qualquer que produz uma potência inversa a base é -1. Logo, log<sub>x</sub> 1/x = -1.
{{ênfase|'''Logaritmando igual a 1''': <math>\log_x 1 = 0, \{x \in \mathbb R | x>0\} </math>}}
:Já que '''log<sub>x</sub> 1 = y''' é o mesmo que '''x<sup>y</sup> = 1''', devemos pensar quais expoentes deixam qualquer base real positiva igual a 1. O único expoente é o zero, assim, log<sub>x</sub> 1 = 0.
:<math></math>▼
== Operações com logaritmos ==
Linha 193 ⟶ 218:
*Que prova a propriedade. Perceba, ainda, que é possível utilizar a propriedade da multiplicação por constante novamente:
:<math>\log_{b^c} x = \log_b x^c</math>
{{Quadro||pontilhado=sim
|1 = Exemplo de aplicação
|2 =
Esta propriedade pode ser aplicada para facilitar a soma ou subtração de logaritmos de bases diferentes. Exemplo:
A propriedade da soma não pode ser utilizada pois as bases dos logaritmos são diferentes. Então colocaremos um expoente na base de modo que estas, posteriormente, fiquem iguais:
:<math>\log_{2^2} x + \log_2 x = y</math>
Aplicando a propriedade da base com expoente:
:<math>\log_2 x^2 + \log_2 x = y</math>
E por fim, poderemos utilizar a propriedade da soma para descobrir ''y'':
:<math>\log_2 (x^2 \cdot x) = y</math>
:<math> y = \log_2 x^3</math>}}
=== Troca da base pelo logaritmando ===
Linha 205 ⟶ 243:
*Elevando-se a equação a -1, podemos reescrevê-la
:<math>\frac {1} {\log_b x} = {\log_x b}</math>
▲== Equações envolvendo logaritmos ==
▲Na resolução de equações envolvendo logaritmos é de grande ajuda em certas situações usar princípios de equações exponenciais. Um exemplo bom é a equação:
▲:<math>625^x= 0,008</math>
▲Que pode ser entendida como:
▲:<math>\log_{625}0,008 = x</math>
▲Esse tipo de comparação facilita a compreensão do problema em questão e de muitos outros semelhantes.
▲:<math>\log_{2}16 = x</math>
== Cologaritmos ==
Linha 225 ⟶ 248:
Cologaritmos são definidos pela seguinte expressão:
:<math> \mbox{colog}\,\frac{x}{y} = - \log \frac{x}{y}</math>
Pela propriedade da
:<math> \mbox{colog}\,\frac{x}{y} = \log \frac {y} {x}</math>
▲:<math></math>
== Exercícios ==
|