Matemática elementar/Logaritmos/Exercícios: diferenças entre revisões
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Linha 233:
:<math>\left ( \frac 1 2 \right )^x = \left ( \frac 1 2 \right )^{-10}</math>
:<math>x = -10 </math>
}}
Linha 343 ⟶ 341:
:<math>\log_{4}(5^2)^2 - \log_4 5^{-1}</math>
*Somamos e simplificamos os expoentes do primeiro logaritmo:
:<math>\log_{4}(5^4
*E utilizando a regra do produto de potências de mesma base
:<math>\log_{4}5^
}}
Linha 352 ⟶ 350:
|1 = Questão 3
|2 =
1. <math>2 \log_2 x = -2</math>
*Divide-se toda equação por 2:
:<math>\log_2 x = -1</math>
*Quando o logaritmo é igual a -1, temos o caso do logaritmando inverso à base:
:<math>2^{-1} = x</math>
:<math>x = \frac 1 2</math>
2. <math>\log_x (3x - 2) = 2</math>
*Transformando em potência:
:<math>x^2 = 3x -2</math>
*Então:
:<math>x^2 - 3x + 2 = 0</math>
*Descobrindo-se as raízes:
:<math>x = \frac {-(-3) \pm \sqrt {(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}} {2} = \frac {3 \pm 1} {2}</math>
*Logo
:<math>x = \{1\} + \{2\}</math>
3. <math>\frac {1} {x} \log 100 = \frac {1} {2}</math>
*Multiplicando-se a equação por x:
:<math>\log 100 = \frac {x} {2}</math>
*Convertendo para potência:
:<math>10^{\frac x 2} = 100</math>
:<math>10^{\frac x 2} = 10^2</math>
*Portanto
:<math>\frac x 2 = 2</math>
:<math>x = 4</math>
4. <math>2 \log_x 8 = 3</math>
*Com a propriedade da multiplicação por constante
:<math>\log_x 8^2 = 3</math>
:<math>\log_x 64 = 3</math>
*Que em potência
:<math>x^3 = 64</math>
:<math>x = \sqrt[3] {64}</math>
:<math>x = 4</math>
5. <math>\log_x x^a = -a</math>
*Transformando em potência:
:<math>x^{-a} = x^{a}</math>
*Uma das possíveis respostas seria a = 0, então x é qualquer real. Entretanto, o exercício diz que ''a'' é qualquer número real positivo (o que não inclui o zero). Desta maneira, devemos pensar qual número que elevado a qualquer expoente tem ele mesmo como resultado. O único número que verifica esta condição é 1.
:<math>x = 1</math>
6. <math>\log_a x^2 = 2 </math>
*Em potência:
:<math>a^2 = x^2</math>
*Logo
:<math>x = a</math>
:<math>\{x \in \mathbb{R}| x > 0\}</math>
7. <math>\log_{2a} 1 = x, a \ne 0,5</math>
*Temos o caso do logaritmando igual a 1:
:<math>(2a)^x = 1</math>
:<math>x = 0</math>
8. <math>\log_2 (ax - a) - \log_2 a = 4</math>
*Pela propriedade da subtração:
:<math>\log_2 \frac {ax - a} {a} = 4</math>
*Que é o mesmo que
:<math>\log_2 \left ( \frac {ax} {a} - \frac {a} {a} \right ) = 4</math>
:<math>\log_2 (x - 1) = 4</math>
*Então
:<math>2^4 = x - 1</math>
:<math>x = 16 + 1 = 17</math>
9. <math>\log_a \left ( \frac {a} {1 + a} -1 \right ) = -x</math>
*Pela [[Matemática elementar/Logaritmos#Inversão do logaritmando|inversão do logaritmando]]
:<math>\log_a \left ( \frac {1 + a} {a} -1 \right ) = x</math>
*Desmembrando a fração do logaritmando:
:<math>\log_a \left ( \frac 1 a + \frac a a -1 \right ) = x</math>
:<math>\log_a \left ( \frac 1 a + 1 -1 \right ) = x</math>
:<math>\log_a \left ( \frac 1 a \right ) = x</math>
*Chegamos ao caso da base inversa ao logaritmando:
:<math>x = -1</math>
10. <math>\log_{a^2} a^{x-1} = 4, a \ne 1</math>
*Pela propriedade da multiplicação por constante:
:<math>(x-1) \log_{a^2} a = 4</math>
*Pela propriedade da base com expoente:
:<math>2 (x-1) \log_a a = 4</math>
*Simplificando:
:<math>\log_a a = \frac {4} {2(x-1)}</math>
*Temos o caso da base igual ao logaritmando:
:<math>1 = \frac {2} {x-1}</math>
:<math>x - 1 = 2</math>
:<math>x = 3</math>
11. <math>5 \log_a a = x + 1, a \ne 1</math>
*Dividindo-se por 5:
:<math>\log_a a = \frac {x + 1} {5}</math>
*Temos o caso da base igual ao logaritmando:
:<math>1 = \frac {x + 1} {5}</math>
:<math>5 = x + 1</math>
:<math>x = 4</math>
12. <math>a^{3 \log_a 2} = x, a \ne 1</math>
*Passando a potência para logaritmo:
:<math>\log_a x = 3 \log_a 2</math>
*Pela multiplicação por constante:
:<math>\log_a x = \log_a 2^3</math>
:<math>\log_a x = \log_a 8</math>
:<math>x = 8</math>
}}
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