Matemática elementar/Logaritmos/Exercícios: diferenças entre revisões
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Linha 93:
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| width="25%" | 5. <math>x = \log_{100} 0,2</math>
| width="25%" | 7. <math>x = \frac {(\mbox{colog}\,5)^2} {\log 5}</math>
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| 2. <math>\log 5x = 1,7</math>
| 4. <math>2(\log x - \log 4) = 1,4</math>
| 6. <math>\log 2 = x</math>
| 8. <math>(\mbox{colog}\,5)^x = (\mbox{colog}\,2)^x - 0,4</math>
Linha 103:
== Respostas ==
{{Quadro|pontilhado = sim|Questão 1| 2=
1. <math>\log_2 32 = x</math> :<math>2^x = 32</math>
:<math>2^x = 2^5</math>
Linha 231 ⟶ 232:
:<math>\left ( \frac 1 2 \right )^x = \left [ \left ( \frac 1 2 \right )^{-1} \right ] ^{10}</math>
:<math>\left ( \frac 1 2 \right )^x = \left ( \frac 1 2 \right )^{-10}</math>
:<math>x = -10 </math>
}}
{{Quadro|pontilhado = sim|Questão 2|2 =
1.<math>2 \log 3</math> *Pela [[Matemática elementar/Logaritmos#Multiplicação por constante|propriedade da multiplicação por constante]]:
:<math>\log 3^2</math>
Linha 337 ⟶ 340:
:<math>\log_{4}(5^4 / 5^{-1})</math>
*E utilizando a regra do produto de potências de mesma base
:<math>\log_{4}5^5 = 5 \log_4 5</math>
}} {{Quadro|pontilhado = sim|Questão 3|2 =
1. <math>2 \log_2 x = -2</math> *Divide-se toda equação por 2:
:<math>\log_2 x = -1</math>
Linha 451 ⟶ 456:
:<math>\log_a x = \log_a 2^3</math>
:<math>\log_a x = \log_a 8</math>
:<math>x = 8</math>
}}
{{Quadro|pontilhado = sim|Questão 4|2=
1. <math>2y = \log x</math>
*Substituindo log x por 2:
Linha 513 ⟶ 519:
:<math>y = -\log x + \log x</math>
:<math>y = 0</math>
}}
{{Quadro|pontilhado = sim
1. <math>x = \log 25</math>
:<math>x = \log 5^2</math>
*Pela multiplicação por constante:
:<math>x = 2 \log 5</math>
*Substituindo log 5 por 0,7:
:<math>x = 2 \cdot 0,7</math>
:<math>x = 1,4</math>
2. <math>\log 5x = 1,7</math>
*Pela regra da soma:
:<math>\log 5 + \log x = 1,7</math>
*Substituindo log 5 por 0,7:
:<math>0,7 + \log x = 1,7</math>
:<math>\log x = 1</math>
*Chegamos ao caso da base igual ao logaritmando:
:<math>10^1 = x</math>
:<math>x = 10</math>
3. <math>x \frac {\log_2 5} {\log_2 10} = 3,5</math>
*Dividindo-se a equação por x:
:<math>\frac {\log_2 5} {\log_2 10} = \frac {3,5} {x}</math>
*Pela [[Matemática elementar/Logaritmos#Mudança de base|mudança de base]]:
:<math>\log_10 5 = \frac {3,5} {x}</math>
*Substituindo log 5 por 0,7:
:<math>0,7 = \frac {3,5} {x}</math>
*Logo
:<math>x = \frac {3,5} {0,7} = 5</math>
4. <math>2 (\log x - \log 4) = 1,4</math>
*Dividindo-se por 2:
:<math>\log x - \log 4 = 0,7</math>
*Substituindo 0,7 por log 5:
:<math>\log x - \log 4 = \log 5</math>
*Pela regra da subtração:
:<math>\log \frac x 4 = \log 5</math>
*Então
:<math>\frac x 4 = 5</math>
*Simplificando
:<math>x = 20</math>
5. <math>x = \log_{100} 0,2</math>
*Substituindo 0,2:
:<math>x = \log_{100} 5^{-1}</math>
*Pela base com expoente:
:<math>x = \log_{10^2} 5^{-1}</math>
*Pela multiplicação por constante:
:<math>x = -2 \log 5</math>
:<math>x = -2 \cdot 0,7 = -1,4</math>
6. <math>\log 2 = x</math>
*Substituimos 2:
:<math>\log (0,2 \cdot 10) = x</math>
*Pela regra da soma:
:<math>\log 0,2 + \log 10 = x</math>
*Temos que log 10 = 1 pelo caso da base igual ao logaritmando:
:<math>\log 5^{-1} + 1 = x</math>
*Pela multiplicação por constante:
:<math>-\log 5 + 1 = x</math>
:<math>-0,7 + 1 = x</math>
:<math>x = 0,3</math>
7. <math>x = \frac {(\mbox{colog}\,5)^2} {\log 5}</math>
*Pela definição de cologaritmo:
:<math>x = \frac {(-\log 5)^2} {\log 5}</math>
*Desmembrando o numerador:
:<math>x = \frac {(-\log 5)(-\log 5)} {\log 5}</math>
*Simplificando:
:<math>x = {-(-\log 5)} = \log 5</math>
:<math>x = 0,7</math>
8. <math>(\mbox{colog}\,5)^x = (\mbox{colog}\,2)^x - 0,4</math>
*Pela definição de cologaritmo:
:<math>(-\log 5)^x = (-\log 2)^x - 0,4</math>
*Descobrimos no item 6 da questão 5 que log 2 = 0,3
:<math>(-0,7)^x = (-0,3)^x - 0,4</math>
*Portanto x = 1.
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