Cálculo (Volume 2)/Formas paramétricas: diferenças entre revisões
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Linha 571:
<math>C\ =\ \int^{\beta}_{\alpha} \sqrt{\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left( \frac{dx}{dt}\right)^2}\quad dt </math>
;A medida da circunferência:
Temos agora a possibilidade de fazer o cálculo de uma medida bem conhecida, para que tenhamos uma comprovação prática do instrumento algébrico que conseguimos através da análise acima, calcularemos a medida da circunferência utilizando os conceitos abordados.
Seja uma circunferência definida pelas equações paramétricas:
*<math>x=r\ cos(t)</math>
*<math>y=r\ sen(t)</math>
Onde <math>r \,\!</math> é o raio da circunferência.
Usando a fórmula do comprimento da curva acima, temos:
<math>C\ =\ \int^{2 \pi}_{0} \sqrt{\left(\frac{d[r\ cos(t)]}{dt}\right)^2+\left( \frac{d[r\ sen(t)]}{dt}\right)^2}\quad dt </math>
<math>C\ =\ \int^{2 \pi}_{0} \sqrt{\left(r\ [-sen(t)]\right)^2+\left( r\ [cos(t)]\right)^2}\quad dt </math>
<math>C\ =\ \int^{2 \pi}_{0} \sqrt{r^2\ \left[sen^2(t)+cos^2(t)\right]}\quad dt </math>
<math>C\ =\ \int^{2 \pi}_{0} \sqrt{r^2}\quad dt </math>
<math>C\ =\ \int^{2 \pi}_{0} r\quad dt </math>
<math>C\ =\ r\ t]^{2 \pi}_{0} \,\!</math>
Ou seja:
<math>C\ =\ 2 \pi r \,\!</math>
==== Áreas ====
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