Curso de termodinâmica/Variação de entropia dos gases perfeitos-Ciclo de Carnot: diferenças entre revisões
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Durante o processo reversível de um estado (T1, V1, P1) para um estado (T2, V2, P2), temos:
<center><math>dS\;=\;\frac{\delta q}{T}</math> segunda lei</center>
<br>
<center><math>dS\;=\;\frac{dE\;\;+\;PdV}{T} </math> primeira lei</center>
<br>
<center><math>dE\;=\;C_V dT </math> gás perfeito</center>
<br>
Em conseqüência:
<center><math>dS\;=\;\frac{C_vdT\;+\;PdV}{T}</math></center>
então:
<center><math>\Delta S\;=\; C_V\; ln \frac{T_2}{T_1}\;+\;nR\; ln\frac{V_2}{V_1}</math></center>
Porém, para um gás perfeito
<center><math>C_P=\;C_V\;+\;nR \qquad e\qquad \frac{P_1V_1}{T_1}\;=\;\frac{P_2V_2}{T_2}\;=\;nR</math></center>
o que leva a :
<center><math>\Delta S\;=\;C_p\;ln\frac{T_2}{T_1}\;-\;nR\;ln\frac{P_2}{P_1}</math></center>
Ciclo de Carnot
===Definição do ciclo===
Um ciclo de Carnot compreende quatro etapas reversíveis que aplicamos a n moles de um gás perfeito:
*Uma dilatação (descompressão) isoterma a temperatura T1 = T2 = T<sub>fonte quente</sub>;
*Uma dilatação adiabática de T<sub>fonte quente</sub> a T3 = T<sub>fonte fria</sub>;
*Uma compressão isoterma a T3 = T4 = T<sub>fonte fria</sub>;
*Uma compressão adiabática de T4 = T<sub>fonte fria</sub> à T1 = T<sub>fonte quente</sub>.
===As etapas do ciclo de Carnot===
O ciclo de Carnot constitui um exemplo simples de máquina, quer dizer um instrumento que permite a conversão de calor em trabalho ou de trabalho em calor.
'''''Cálculo de w, q e E para cada etapa'''''
====Etapa A====
Durante a expansão isoterma, uma quantidade de trabalho w<sub>A</sub> é fornecida (perdida) pelo sistema. Simultaneamente, o calor q<sub>A</sub> é absorvido:
<center><math>\Delta E_A\;=\;0</math></center>
<center><math>w_A\;=\;-\int_{v_1}^{V_2}PdV\;=\;-nR\;T_1\;ln\frac{V_1}{V_2}<0</math></center>
<center><math>q_A\;=\;-w_A\;=\;nRT_1\; ln\frac{V_2}{V_1}> 0</math></center>
==== Etapa B ====
A expansão adiabática do gás conduz a um resfriamento da temperatura da fonte quente T1 = T2 para a temperatura da fonte fria T3 = T4. O trabalho é fornecido pelo sistema (é uma expansão ) mas acontece nenhuma transferência de calor.
<center><math>\Delta E_B\;=\;w_B\;=\;-n\bar C_V(T_{fonte\;quente}\;-\;T_{fonte_fria})\;<\;0</math></center>
<center><math>\;q_B\;=\;0</math></center>
====Etapa C====
<center><math>\Delta e_c\;=\;0</math></center>
<center><math>w_c\;=\;-\int_{v_3}^{V_4}PdV\;=\;-nRT_3\;ln\frac{V_3}{V_4}\;>\;0</math></center>
<center><math>q_C\;=\;-w_c\;=\;nRT_3\;ln\frac{V_4}{V_3}\;<0</math></center>
====Etapa D====
<center><math>\Delta E_D\;=\;w_d\;=\;n\bar C_V(T_{fonte\;quente}-T_{fonte\;fria}\;>0</math></center>
A equação de estado do gás permite de simplificar as expressões. Assim, durante a expansão adiabática (etapa B), temos:
<center><math>dE_B\;=\;n\bar {C}_VdT\;=\;\delta w_b\;=\;-PdV</math></center>
seja:
<center><math>\bar C_VdT\;=\;-\frac {RT}{V} dV</math></center>
<center><math>\bar C_V \frac{dT}{T}\;=\;-\;R\frac{dV}{V}</math></center>
<center><math>\bar C_V\;ln\;\frac {T_{fonte\; fria}}{T_{fonte\;quente}}\;=\;-\;R\;ln\;\frac{V_3}{V_2}\;=\;R\;ln\;\frac{V_2}{V_3}</math></center>
Da mesma maneira, para a compressão adiabática (etapa D):
<center><math> C_V ln \frac{T_{fonte\;quente}}{T_{fonte \;fria}}\;=\;-R\;ln\frac{V_1}{V_4}</math></center>
Deduzimos de estas relações:
<center><math>\frac{V_2}{V_1}\;=\;\frac{V_3}{V_4}</math></center>
===Balanço do ciclo===
a) calor
<center><math>q_{ciclo}\;=\;\sum_{ciclo}\;q_i\;=\;q_A\;+\;q_C</math></center>
<center><math>q_{ciclo}\;=\;nRT_{fonte\;quente}\;ln\frac{V_2}{V_1}\;+\;nRT_{fonte\;fria}\;ln{V_4}{V_3}</math></center>
<center><math>q_{ciclo}\;=\;nR\;ln\frac{V_2}{V_1}(T_{fonte\;quente}\;-\;T_{fonte\;fria})\;=\;0</math></center>
b) trabalho
<center><math>w_{ciclo}\;=\;\sum_{ciclo}\;w_i\;=w_A\;+\;w_C\qquad porque\qquad w_B\;=\;-\;w_D</math></center>
17-<center><math>w_{ciclo}\;=\;-q_A\;-\;q_C</math></center>
18-<center><math>w_ciclo\;=\;n\;R\;ln\;\frac{V_2}{V_1}(T_{fonte\;fria}\;-\;T_{fonte\;quente}\;<\;0</math></center>
c) energia
<math>\Delta E\;=\;w_{ciclo}\;+\;q_{ciclo}\;=0</math>, segundo à primeira lei, verificamos igualmente que nem o trabalho nem o calor são funções de estado.
Globalmente, o sistema absorveu calor e forneceu trabalho. O ciclo de Carnot é um exemplo simples de uma máquina, quer dizer de um sistema capaz de transformar calor em trabalho. Um veiculo automóvel é um outro exemplo de máquina (a combustão da gasolina fornece calor que é transformado em trabalho de deslocamento). O resultado do ciclo de Carnot sugere que poderíamos recuperar em trabalho 100 % do calor fornecido. Mesmo se não tivesse nenhuma perda de calor por condução e de energia mecânica por atrito, não poderia acontecer porque o calor q<sub>3</sub> é devolvido pelo sistema no lugar frio da maquina e, em prática, não pode ser reutilizado pelo operador da máquina. O rendimento máximo de uma máquina de Carnot é :
<center><math>rendimento\;=\;\frac{-w_{ciclo}}{q_A}\;=\;1+\frac{q_C}{q_A}\;=\;\frac{T_{ fonte\;frio}}{T_{fonte quente}}</math></center>
===Conversão de trabalho em calor===
Se percorrermos o ciclo de Carnot no sentido inverso, o sistema recebe energia mecânica e fornece calor em troca . É o principio da geladeira e da bomba a calor. Um gás é comprimido à temperatura do local. Fazendo isso, ele libera calor. O gás é transportado para a fonte fria ( dentro da geladeira ou fora do prédio) onde sua expansão é acompanhada de uma adsorção de calor.
===Verificação da segunda lei===
S sendo uma função de estado, temos S ciclo = 0. De outro lado, como cada etapa é reversível:
<center><math>\Delta S_i\;=\;\frac{q_i}{T}</math></center>
Verificamos que:
<center><math>\Delta S_{ciclo}\;=\;\sum_{ciclo}\Delta S_i\;=\;\sum_{ciclo}\frac{q_i}{T}\;=\frac{q_A}{T{fonte_quente}}\;+\;\frac{q_C}{T_{fonte\;fria}}\;=\;0</math></center>
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