Engenharia industrial/Qualidade: diferenças entre revisões
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m Forma alternativa de cálculo dos efeitos |
m Explicação da soma dos quadrados e construção da tabela ANOVA |
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Linha 9:
=== O factorial <math>2^2</math> ===
O primeiro desenho da classe de factoriais <math>2^k</math> é o que apenas tem dois factores, por exemplo A e B, cada um com apenas dois níveis. Este desenho factorial é chamado '''desenho factorial''' <math>2^2</math>. Os níveis dos factores podem ser arbitráriamente chamados de "Alto" e "Baixo". Como exemplo, considere a investigação do efeito da concentração de um reagente e da quantidade do catalizador num processo quimico. O objectivo da experiência é determinar se ajustamentos nos níveis dos factores aumenta o rendimento da reação. Começa-se por chamar ao reagente o factor A e define-se os níveis a estudar de 15 e 25 por cento. O catalizador é o factor B, com o nível alto fixado a duas libras de catalizador e o nível baixo a uma libra. A experiência é replicada 3 vezes, pelo que há 12 observações. A ordem pela qual as observações são retiradas é '''completamente aleatória.''' Os dados obtidos estão na tabela abaixo:
{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
|+Tabela 1 - Resultados das experiências
| style="text-align: center;" colspan=2 | Factor
| style="text-align: center;" rowspan=2 |Combinação
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A partir destes valores pode verificar-se que o efeito de A (concentração do reagente) é positivo, o que sugere que um ajumento na concentração de 15% para 25% aumenta o rendimento da reação. O efekito de B (catalizador) é negativo o que seugere que um aumento na quantidade de catalizador diminui o rendimento da reação. A interação aparenta ser pequena quando comparada com os dois efeitos principais.
Em muitas experiências envolvento desenhos factoriais <math>2^k</math> interessa ao investigador quantificar a magnitude e a direcção dos efeitos dos factores para determinar que variáveis são mais importantes. A análise de variância pode ser usada para confirmar esta interpretação. Considere a soma dos quadrados de A, B, e AB e note que são usados os '''contrastes''' para estimar os efeitos. Por exemplo :
<math>Contraste_A = ab+a-b-(1)</math>
Pode chamar-se ao contraste o '''efeito total''' de um factor. A soma dos quadrados de qualquer contraste pode ser obtida a partir das seguintes expressões:
<math>SS_A = \frac{[ab+a-b-(1)]^2}{4n}</math>
<math>SS_B = \frac{[ab+b-a-(1)]^2}{4n}</math>
<math>SS_{AB} = \frac{[ab+(1)-a-b]^2}{4n}</math>
Usando os dados da figura 1 podemos calcular a soma dos quadrados:
<math>SS_A=\frac{50^2}{4\times 3}=208,33</math>
<math>SS_B=\frac{(-30)^2}{4\times 3}=75,00</math>
<math>SS_{AB}=\frac{10^2}{4\times 3}=8,33</math>
A soma dos quadrados total é obtida com a seguinte expressão:
<math>SS_T=\sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k=1}^n y_{ijk}^2-
\frac{ \Biggl(\displaystyle\sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k=1}^n y_{ijk}\Biggr)^2}{4n}</math>
A soma dos quadrados do erro é obtida com a seguinte expressão:
<math>SS_{Erro}=SS_T-SS_A-SS_B-SS_{AB}</math>
Aplicando aos dados da figura 1 temos:
<math>\begin{align} SS_T & = 28^2+25^2+27^2+36^2+32^2+32^2+18^2+19^2+23^2+31^2+30^2+29^2 -\\
& - \frac{(28+25+27+36+32+32+18+19+23+31+30+29)^2}{4\times 3} \\
& = 9398 - 9075 = 323,00 \end{align}</math>
E para a soma dos quadrados do erro temos:
<math>SS_E= 323,00-208,33-75,00-8,33=31,34</math>
Estamos então em condições de construir a tabela ANOVA
{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
|+Tabela 2 - ANOVA
| rowspan="2" style="text-align: center;" |Fonte de
Variação
| rowspan="2" style="text-align: center;" |Soma de
Quadrados
| rowspan="2" style="text-align: center;" |Graus de
liberdade
| rowspan="2" style="text-align: center;" |Quadrado
médio
| rowspan="2" style="text-align: center;" | <math>F_0</math>
| rowspan="2" style="text-align: center;" |Valor de
prova
|-
|-
| A
| 208,33
| 1
| 208,33
| 53,15
| 0,0001
|-
| B
| 75,00
| 1
| 75,00
| 19,13
|0,0024
|-
| AB
| 8,33
| 1
| 8,33
| 2,13
| 0,1826
|-
| Erro
| 31,34
| 8
| 3,92
|
|
|}
Note que
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