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# [[Imagem:5de8.svg]] [[/O factorial 2^k/|O factorial <math>2^k</math>//]]
= O factorial <math>2^k</math><ref>Design and Analysis os Experiments - Montgomery, D.C.</ref> =
O desenho factorial completo é usado em experiências que envolvem vários factores onde é necessário o estudo conjunto de efeitos dos vários factores numa resposta. Contudo, vários casos especiais do desenho factorial são importantes porque são amplamente usados no trabalho de investigação e porque são a base de outros desenhos factoriais tamém de considerável adoção prática. O mais importande destes casos especiais é o caso de <math>k</math> factores, cada um com apenas dos níveis. Estes níveis podem ser quantitativos, como dois valores de temperatura, pressão ou tempo; podem ser qualitativos, como por exemplo duas máquinas ou dois operadores; ou a presença ou asência de um factor. Um destes facoriais completos requer <math display="inline">2\times2\times\cdots\times2 = 2^k</math> observaçãoes e é chamado '''desenho factorial''' <math display="inline">2^k</math>.
Este capítulo foca-se neste importante classe de desenhos de experiências. Até ao fim deste capítulo vamos assumir que (1) os factores são fixos, (2) o desenho é completamente aleatório e (3) a usual assunção de normalidade é satisfeita.
O factorial <math>2^k</math> é particularmente útil nas fazes iníciais do trabalho experimental, quando existem muitos factores a ser investigados. Consequêntemente estes factoriais são amplamente usados em experiências preliminares. Como só há dois níveis em cada factor, assume-se que a resposta é apróximadamente linear na amplitude dos níveis dos factores escolhidos.
=== O factorial <math>2^2</math> ===
O primeiro desenho da classe de factoriais <math>2^k</math> é o que apenas tem dois factores, por exemplo A e B, cada um com apenas dois níveis. Este desenho factorial é chamado '''desenho factorial''' <math>2^2</math>. Os níveis dos factores podem ser arbitráriamente chamados de "Alto" e "Baixo". Como exemplo, considere a investigação do efeito da concentração de um reagente e da quantidade do catalizador num processo quimico. O objectivo da experiência é determinar se ajustamentos nos níveis dos factores aumenta o rendimento da reação. Começa-se por chamar ao reagente o factor A e define-se os níveis a estudar de 15 e 25 por cento. O catalizador é o factor B, com o nível alto fixado a duas libras de catalizador e o nível baixo a uma libra. A experiência é replicada 3 vezes, pelo que há 12 observações. A ordem pela qual as observações são retiradas é '''completamente aleatória.''' Os dados obtidos estão na tabela abaixo:
{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
|+Tabela 1 - Resultados das experiências
| style="text-align: center;" colspan=2 | Factor
| style="text-align: center;" rowspan=2 |Combinação
de tratamento
| style="text-align: center;" colspan=3 | Réplica
|
|-
|A
|B
| I
| II
| III
|Total
|-
| -
| -
| A baixo, B baixo
| 28
| 25
| 27
| 80
|-
| +
| -
| A alto, B baixo
| 36
| 32
| 32
| 100
|-
| -
| +
| A baixo, B alto
| 18
| 19
| 23
| 60
|-
| +
| +
| A alto, B alto
| 31
| 30
| 29
| 90
|}
As quatro combinações de tratamento deste desenho, estão representadas gráficamente na figura abaixo. Por convenção denotam-se os efeitos dos factores com uma letra latina maiúscula. Então "A" refere-se ao efeito do factor A e "B" refere-se ao efeito do factor B e "AB" refere-se à interacção entre factores. No desenho <math>2^2</math>os níveis alto e baixo dos factores A e B são representados por "-" e "+" respectivemente nos eixos A e B. Então o sinal - no eixo A representa o nível baixo de concentração enquanto o sinal + no deixo A representa o nível alto de concentração. Pela mesma lógica o sinal - no eixo B representa o nível baixo de catalizador e o sinal + representa o nível alto de catalizador.
[[File:Desenho factorial 2^2.png|thumb|center|Figura 1 - Representação geometrica do factorial <math>2^2</math>|262x262px]]
As quatro combinações de tratamento, que também podem ser representadas por letras latinas minúsculas, e o nível baixo de um tratamento também pode ser denotado com a ausência de uma letra. Por convenção (1) é usado para assinalar que todos os factores estão no nível baixo. Esta notação é usada em todos os factoriais <math>2^k</math>. Num desenho factorial de dois níveis define-se o efeito médio de um factor como a variação na resposta produzida pela variação no nível desse factor sobre os níveis do outro factor. Também, os símbolos (1), a, b, e ab representam o total das n réplicas de todas as combinações do tratamento. Então o efeito de A com o nível baixo de B é <math>[a-(a)]/n</math> e o efeito de A com o nível alto de B é <math>[ab-b]/n</math>. A média destas duas quantidades devolve o '''efeito''' de A:
<math>\begin{align} A & =\frac{1}{2n}\{[ab-b]+[a-(1)]\} \\ & = \frac{1}{2n}[ab+a-b-(1)] \\ \end{align}
</math>
O efeito de B é obtido a partir do edito de A nível baixo <math>[b-(1)]/n</math> e o efeito A a nível alto <math>[ab-a]/n</math>:
<math>\begin{align} B & = \frac{1}{2n}\{[ab-a]+[b-(1)]\} \\ & = \frac{1}{2n}[ab+b-a-(1)] \\ \end{align}</math>
Define-se também o efeito da interacção AB como a média das diferenças entre o efeito de A com B a nível alto e o efeito de A com B a nível baixo:
<math>\begin{align} AB & = \frac{1}{2n}\{[ab-b]-[a-(1)]\} \\ & = [ab+(1)-a-b] \\ \end{align}</math>
Alternativamente pode também definir-se a interação AB como a diferença média do efeito de B com A a nível alto e o efeito de B com A a nível baixo. Isto conduz-nos à mesma equação.
As fórmulas dos efeitos A, B e AB podem ser deduzidas por outro método. O efeito de A pode ser obtido como a diferença das médias da resposta dos dois tratamentos do lado direito do quadrado da figura 1 <math>\bar{y}_{A^+}</math>e dos dois tratamentos do lado esquerdo da figura 1 <math>\bar{y}_{A^-}</math>. Ficamos então com:
<math>\begin{align} A & = \bar{y}_{A^+}-\bar{y}_{A^-}
\\ & = \frac{ab+a}{2n} - \frac{b+(1)}{2n}
\\ & = \frac{1}{2n}[ab+a-b-(1)] \end{align}</math>
Esta é exectamente a mesma expressão a qjue tinhamos chegado quando definimos o efeito de A. O efeito de B é obtido como as diferenças da médias nos tratamentos no topo <math>\bar{y}_{B^+}</math> e fundo <math>\bar{y}_{B^-}</math> do quadrado da figura 1.
<math>\begin{align} B & = \bar{y}_{B^+}-\bar{y}_{B^-}
\\ & = \frac{ab+b}{2n} - \frac{a+(1)}{2n}
\\ & = \frac{1}{2n}[ab+b-a-(1)] \end{align}</math>
Esta é exectamente a mesma expressão a qjue tinhamos chegado quando definimos o efeito de B. Finalmente a interação AB é a média da diagonal da direita para a esquerda da figura 1 [ab e (1)] menos a média da diagonal da esquerda para a direita da figura 1 (a e b).
<math>\begin{align} AB & = \bar{y}_{AB^+}-\bar{y}_{AB^-}
\\ & = \frac{ab+(1)}{2n} - \frac{a+b}{2n}
\\ & = \frac{1}{2n}[ab+(1)-a-b] \end{align}</math>
Esta é a expressão do efeito da interação definida acima.
Usando dos valores da figura 1 podemos estimar a média dos efeitos:
<math>A=\frac{1}{2\times3}(90+100-60-80)=8,33</math>
<math>A=\frac{1}{2\times3}(90+60-100-80)=-5,00</math>
<math>A=\frac{1}{2\times3}(90+80-100-60)=1,67</math>
A partir destes valores pode verificar-se que o efeito de A (concentração do reagente) é positivo, o que sugere que um ajumento na concentração de 15% para 25% aumenta o rendimento da reação. O efekito de B (catalizador) é negativo o que seugere que um aumento na quantidade de catalizador diminui o rendimento da reação. A interação aparenta ser pequena quando comparada com os dois efeitos principais.
Em muitas experiências envolvento desenhos factoriais <math>2^k</math> interessa ao investigador quantificar a magnitude e a direcção dos efeitos dos factores para determinar que variáveis são mais importantes. A análise de variância pode ser usada para confirmar esta interpretação. Considere a soma dos quadrados de A, B, e AB e note que são usados os '''contrastes''' para estimar os efeitos. Por exemplo :
<math>Contraste_A = ab+a-b-(1)</math>
Pode chamar-se ao contraste o '''efeito total''' de um factor. A soma dos quadrados de qualquer contraste pode ser obtida a partir das seguintes expressões:
<math>SS_A = \frac{[ab+a-b-(1)]^2}{4n}</math>
<math>SS_B = \frac{[ab+b-a-(1)]^2}{4n}</math>
<math>SS_{AB} = \frac{[ab+(1)-a-b]^2}{4n}</math>
Usando os dados da figura 1 podemos calcular a soma dos quadrados:
<math>SS_A=\frac{50^2}{4\times 3}=208,33</math>
<math>SS_B=\frac{(-30)^2}{4\times 3}=75,00</math>
<math>SS_{AB}=\frac{10^2}{4\times 3}=8,33</math>
A soma dos quadrados total é obtida com a seguinte expressão:
<math>SS_T=\sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k=1}^n y_{ijk}^2-
\frac{ \Biggl(\displaystyle\sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k=1}^n y_{ijk}\Biggr)^2}{4n}</math>
A soma dos quadrados do erro é obtida com a seguinte expressão:
<math>SS_{Erro}=SS_T-SS_A-SS_B-SS_{AB}</math>
Aplicando aos dados da figura 1 temos:
<math>\begin{align} SS_T & = 28^2+25^2+27^2+36^2+32^2+32^2+18^2+19^2+23^2+31^2+30^2+29^2 -\\
& - \frac{(28+25+27+36+32+32+18+19+23+31+30+29)^2}{4\times 3} \\
& = 9398 - 9075 = 323,00 \end{align}</math>
E para a soma dos quadrados do erro temos:
<math>SS_E= 323,00-208,33-75,00-8,33=31,34</math>
Estamos então em condições de construir a tabela ANOVA
{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
|+Tabela 2 - ANOVA
| style="text-align: center;" | Fonte de
Variação
| style="text-align: center;" | Soma de
Quadrados
| style="text-align: center;" | Graus de
liberdade
| style="text-align: center;" | Quadrado
médio
| style="text-align: center;" | <math>F_0</math>
| style="text-align: center;" | Valor de
prova
|-
| A
| 208,33
| 1
| 208,33
| 53,15
| 0,0001
|-
| B
| 75,00
| 1
| 75,00
| 19,13
|0,0024
|-
| AB
| 8,33
| 1
| 8,33
| 2,13
| 0,1826
|-
| Erro
| 31,34
| 8
| 3,92
|
|
|}
Note que os coeficientes do contraste para estimar os efeitos da interação são simplesmente o produto dos coeficientes dos dois efeitos principais correspondentes. Os coeficientes de contraste são sempre +1 ou -1 e uma tabela de sinais como a tabela 3 pode sempre ser usada para determinar o sinal de cada tratamento.
{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
|+Tabela 3 - Tabela de sinais para o factorial <math>2^2</math>
| rowspan=2 style="text-align: center;" | Combinação do
tratamento
| colspan =4 style="text-align: center;" | Efeito do factorial
|-
| I
| A
| B
| AB
|-
| (1)
| +
| -
| -
| +
|-
| a
| +
| +
| -
| -
|-
| b
| +
| -
| +
| -
|-
| ab
| +
| +
| +
| +
|}
As colunas da tabela 3 são os efeitos principais A, B e a interacção AB. I representa a média total de toda a experiência e a coluna que lhe está associada apenas tem sinais +. as linhas representam as combinações de tratamento. Para en contrar o contraste e estimar qualquer efeito, simplesmente multiplica-se na coluna aproporiada da tabela e soma-se. Por exemplo, para estimar o efeito A o contraste é -(1) + a - b + ab, que é usado na equação do efeito de A
===== O modelo de regressão =====
No desenho factorial <math>2^k</math> é fácil expressar o resultado da experiência em termos de um modelo de regressão. Para a experiência do processo quimico da tabela 1 o modelo de regressão é:
<math>y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\epsilon</math>
onde <math>x_1</math>é a variável codificada que representa a concentração de reagente, <math>x_2</math> é a variável codificada que representa a quantidade de catalisador, e os <math>\beta</math> são os coeficientes da regressão. As variáveis <math>x_1</math> e <math>x_2</math> tomam sempre o valor -1 ou +1. O modelo de regressão para este caso é então:
<math>\hat{y}=27,5+\Biggl(\frac{8,33}{2}\Biggr)x_1+\Biggl(\frac{-5,00}{2}\Biggr)x_2</math>
Neste caso a intercessão da regressão é 27,5 que é a média global das 12 observações e os coeficiêntes da regressão <math>\hat{\beta}_1</math> e <math>\hat{\beta}_2</math> são metade do efeito estimado para o factor correspondente. A razão para isso é que os coeficiêntes <math>x_1</math> e <math>x_2</math> variam de duas unidades (de -1 a +1).
===== Resíduos e adequação ao modelo =====
O modelo de regressão pode ser usado para fazer previsões para os valores obtidos nos quatro pontos do desenho. Os resíduos são as diferenças entre os valores observados e os valores de previsão para y. Seguindo o nosso exemplo, quando a concentração de reagente é baixa e a quantidade de catalisador é também baixa o valor de previsão é:
<math>\hat{y}=27,5+\Biggl(\frac{8,33}{2}\Biggr)(-1)+\Biggl(\frac{-5,00}{2}\Biggr)(-1)=25,835</math>
Como há três observações para esta combinação de tratamento os resíduos são:
<math>e_1=28-25,835=2,165</math>
<math>e_2=25-25,835=-0,835</math>
<math>e_3=27-25,835=1,165</math>
Os restantes resíduos são calculados de forma semelhantes
Para um nível alto de concentração de reagente e um nível baixo de catalisador temos:
<math>\hat{y}=27,5+\Biggl(\frac{8,33}{2}\Biggr)(+1)+\Biggl(\frac{-5,00}{2}\Biggr)(-1)=34,165</math>
E os respectivos resíduos são:
<math>e_4=36-34,165=1,835</math>
<math>e_5=32-34,165=-2,165</math>
<math>e_6=32-34,165=-2,165</math>
Para um nível baixo de concentração de reagente e un nível alto de catalisador temos:
<math>\hat{y}=27,5+\Biggl(\frac{8,33}{2}\Biggr)(-1)+\Biggl(\frac{-5,00}{2}\Biggr)(+1)=20,835</math>
E os respectivos resíduos são:
<math>e_7=18-20,835=-2,835</math>
<math>e_8=19-20,835=-1,835</math>
<math>e_9=23-20,835=2,165</math>
Finalmente para um nível alto de ambos os factores temos:
<math>\hat{y}=27,5+\Biggl(\frac{8,33}{2}\Biggr)(+1)+\Biggl(\frac{-5,00}{2}\Biggr)(+1)=29,165</math>
E os respectivos resíduos são:
<math>e_{10}=31-29,165=1,835</math>
<math>e_{11}=30-29,165=0,835</math>
<math>e_{12}=29-29,165=-0,165</math>
Estamos então em condições de construir o grá fico de probabilidades da distribuição normal.
<references />
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