Matemática essencial/Noções básicas de Trigonometria: diferenças entre revisões

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==== Teorema de Pitágoras - enunciado e demonstrações. ====
<blockquote>“O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos.”</blockquote>
[[Ficheiro:Pitagoras-II.gif|centro|miniaturadaimagem|386x386px|Figura 4: Animação referente à demonstração geométrica a partir da equipolência das áreas de figuras planas do Teorema de Pitágoras, figuras construídas no software livre de geometria dinâmica iGeom, disponível em <nowiki>http://www.matematica.br/igeom/</nowiki>.]]
 
Apresentaremos a seguir duas das mais de 370 demonstrações encontradas para o Teorema de Pitágoras.
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===== Demonstração Clássica =====
Considere o triângulo retângulo ''XYZ'',cujos catetos medem ''b'' e ''c'' e a hipotenusa mede ''a''.
[[Ficheiro:04. Figura 4.svg|centro|miniaturadaimagem|Figura 45: Triângulo retângulo com catetos '''b''' e '''c''' e hipotenusa '''a'''.|330x330px]]
Queremos mostrar que <math display="inline">a^2=b^2+c^2</math>, como enunciado anteriormente pelo teorema.
 
Considere um quadrado ''ABCD'', cujos lados medem <math>b+c</math> . Sobre os lados do quadrado, tome os pontos ''M, N, P'' e ''Q'', tais que <math display="inline">AM = BN = CP = DQ = b</math> e <math display="inline">MB = NC = PD = QA = c</math>, como ilustrado na figura abaixo.
[[Ficheiro:05. Figura 5.svg|centro|miniaturadaimagem|Figura 56: Quadrado ABCD de lado b + c.|332x332px]]
Pelo caso de congruência LAL – lado-ângulo-lado, os triângulos retângulos ''QAM, MBN, NCP'' e ''PDQ'' são congruentes entre si e também são congruentes ao triângulo retângulo da nossa hipótese, <math display="inline">\bigtriangleup
XYZ</math>.
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Agora, vamos mostrar que, de fato, o quadrilátero ''MNPQ'' é um quadrado. Para isso, suponhamos que os ângulos agudos, ângulos cujas medidas são menores do que 90°, do triângulo ''XYZ'' meçam α e β, como ilustrado figura 6.
[[Ficheiro:Triangulo retangulo 2.svg|centro|miniaturadaimagem|Figura 67: triângulo retângulo com ângulos internos α e β.|330x330px]]
Assim, por congruência de triângulos, sabemos que os ângulos agudos, correspondentes aos pares de lados congruentes, dos triângulos ''QAM, MBN, NCP'' e ''PDQ'', também medem ''a'' e ''b'' , como ilustrado a seguir, figura 7.
[[Ficheiro:Quadrado triangulo retangulo 2.svg|centro|miniaturadaimagem|Figura 78: Quadrado formado por 4 cópias de um triângulo retângulo, com ângulos internos α e β.|332x332px]]
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180°, temos que <math display="inline">\alpha+\beta+90=180</math>; portanto,<math display="inline">\alpha+\beta=90</math> .
 
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===== Demonstração por semelhança de triângulos =====
Seja o triângulo ''ABC'' retângulo em ''A'', cujos catetos medem ''b'' e ''c'' e a hipotenusa mede ''a'', como ilustrado a seguir, figura 7.
[[Ficheiro:Triangulo retângulo 3.svg|centro|miniaturadaimagem|Figura 89: Triângulo retângulo com catetos b e c, hipotenusa a, dividido pelo segmento equivalente à altura.|330x330px]]
Seja a altura ''AH'', relativa ao lado ''BC'', tal que ''AH'' divide o triângulo ''ABC'' em dois outros triângulos, ''BHA'' e ''CHA'', ambos retângulos em ''H'', como ilustrado na figura 7.
 
Suponhamos que os ângulos agudos do triângulo ''ABC'' sejam α e β, figura 9.
[[Ficheiro:Triangulo retangulo 4.svg.svg|centro|miniaturadaimagem|Figura 910: Triângulo retângulo com ângulos internos α e β.|330x330px]]
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180°, temos que <math display="inline">\alpha+\beta+90=180</math> e, portanto, <math display="inline">\alpha+\beta=90</math>. Assim, os triângulos ''ABC, HBA'' e ''HAC'' possuem os mesmos ângulos, como ilustrado na figura 9, e; portanto, são semelhantes, pelo critério AA – ângulo-ângulo.
[[Ficheiro:Triangulo retangulo 5.svg|centro|miniaturadaimagem|330x330px|Figura 1011: Semelhança de dois triângulos retângulos quando repartidos pelo segmento equivalente à altura.]]
Sendo os triângulos ''ABC'' e ''HBA'' semelhantes pelo critério AA, temos as seguintes relações métricas: <math display="inline">\frac{BC}{BA}=\frac{BA}{BH}\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{c}{m}\Rightarrow c^2=a\ m \ \quad (I)</math>.
 
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Para tanto, consideremos um triângulo ''ABC'' qualquer de lados ''a'', ''b'' e ''c'', tal que <math>AB=c</math>, <math>BC=a</math> e <math>CA=b</math>.
[[Ficheiro:Triangulo retangulo horizontal.svg.svg|centro|miniaturadaimagem|Figura 1112: Triangulo retangulo ABC qualquer, de lados a, b e c.|330x330px]]
* '''Primeiro caso: <math>\alpha<90</math>'''
Suponhamos <math>b\leq c</math>. Neste caso, o ponto ''D'', projeção ortogonal de ''C'' sobre o segmento <math>\overline{AB}</math>, pertence ao segmento <math>\overline{AB}</math>.
 
Sejam <math>AD=x</math>, <math>CD=h</math> e <math>DB=c-x</math>, como ilustrado na figura 11.
[[Ficheiro:Triangulo retangulo 12.svg|centro|miniaturadaimagem|330x330px|Figura 1213: Primeiro caso.]]
 
Como o triângulo ''ADC é'' retângulo em ''D'', temos que <math>b^2=h^2+x^2\Longrightarrow h^2=b^2-x^2</math>.
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* '''Segundo caso: <math>\alpha>90</math>'''
Seja o ponto ''D'', projeção ortogonal de ''C'' sobre a reta <math>\overleftarrow{AB}</math>. Suponhamos <math>b\leq c</math>, nesse caso, ''D'' não pertence ao segmento <math>\overline{AB}</math>. Sejam, ainda, <math>AD=x</math> e <math>CD=h</math>, como ilustrado na figura 12.
[[Ficheiro:Triangulo retangulo 13.svg|centro|miniaturadaimagem|330x330px|Figura 1314: Segundo caso.]]
 
No triângulo ''ADC'', retângulo em ''D'', provamos que valem as seguintes relações:<math>b^2=h^2+x^2\Longrightarrow h^2=b^2-x^2</math>. Analogamente, para o triângulo ''DCB'', teremos:<math>a^2=h^2+(c+x)^2=h^2+c^2+2cx+x^2</math>. Mas, como <math>h^2=b^2-x^2</math>, temos que <math>a^2=b^2+c^2+2cx</math>. Logo, <math>a^2>b^2+c^2</math>.
 
Deste modo, concluímos que para qualquer triângulo ''ABC'' de lados ''a, b'' e ''c,'' se <math>a^2=b^2+c^2</math>, então o triângulo é retângulo e sua hipotenusa mede ''a'', como queríamos demonstrar.
[[Ficheiro:Prova pitagoras animacao.gif|centro|miniaturadaimagem|550x550px|Figura 1415: Animação sobre a prova geométrica do teorema de Pitágoras (figuras desenhadas a partir do software livre iGeom, disponível em http://www.matematica.br/igeom/)]]
 
==== O Teorema de Pitágoras e a generalização de Pappus de Alexandria ====
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Seja ''ABC'' um triângulo, não necessariamente retângulo, se sobre dois de seus lados construirmos dois paralelogramos quaisquer, ''ABDE'' e ''ACFG''. Então é possível construirmos sobre o terceiro lado desse triângulo, um outro paralelogramo, ''BCHI'', cuja área seja igual à soma das áreas dos outros dois paralelogramos já construídos.
 
[[Ficheiro:Parallelograms with the sides aligned to the sides of a right triangle.svg|centro|miniaturadaimagem|330x330px|Figura 1516: Dois paralelogramos quaisquer construídos sobre os lados de um triângulo retângulo.]]
 
'''<u>Demonstração</u>'''
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'''<u>Construção</u>'''
 
[[Ficheiro:Pappus Animação.gif|miniaturadaimagem|437x437px|Figura 1617: Animação referente à demonstração do teorema de Pappus (figuras construídas no software livre iGeom, disponível em http://www.matematica.br/igeom/.|esquerda]]
Sejam ''M'' e N, respectivamente, os pontos de intersecção entre as retas suportes dos lados <math>DE</math> e <math>FG</math> e entre a reta <math>MA</math> e o lado <math>BC</math>.
 
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Analogamente mostramos que a área do quadrilátero ''ACFG'' é igual a área do quadrilátero ''ABDE'' e; portanto, provamos que a soma das áreas dos paralelogramos ''ACFG'' e ''ABDE'' é igual a área do paralelogramo ''BCHI''.
[[Ficheiro:Pappus Pitagoras.gif|miniaturadaimagem|451x451px|Figura 1718: Animação referente à demonstração do Teorema de Pitágoras dada por Pappus (figuras construídas no software livre iGeom, disponível em http://www.matematica.br/igeom/.]]
'''<u>Corolário</u>''' (Teorema de Pitágoras)
 
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A área do triângulo equilátero construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos triângulos equiláteros construídos sobre os catetos de um triângulo retângulo.
[[Ficheiro:Equilateral triangles with corresponding sides superimposed on a right triangle.png|centro|miniaturadaimagem|402x402px|Figura 1819: Triâgulos Equiláteros construídos sobre os lados de um triângulo retângulo. A relação entre suas áreas satisfaz o teorema de pitágoras. Figura construída com o software livre de geometria dinâmica iGeom, disponível em http://www.matematica.br/igeom/.]]
'''<u>Demonstração</u>'''
 
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Se construirmos triângulos semelhantes sobre os lados de um triângulo retângulo e se os lados do triângulo retângulo são lados homólogos aos lados dos triângulos semelhantes que os contém, então a área do triângulo construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos triângulos construídos sobre os catetos.
[[Ficheiro:Pitagoras triângulos semelhantes.svg|centro|miniaturadaimagem|476x476px|
Figura 1920: Triângulos semelhantes cujos lados correspondentes formam um triângulo retângulo. A relação entre suas áreas satisfaz o teorema de Pitágoras.
]]
 
Linha 188:
 
A área do polígono regular de ''n'' lados construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos polígonos regulares de ''n'' lados construídos sobre seus catetos.
[[Ficheiro:Pitagoras poligonos semelhantes.svg|centro|miniaturadaimagem|413x413px|Figura 2021: Pentágonos regulares construídos sobre os lados de um triângulo retângulo. A relação entre as áreas desses pentágonos satisfaz o teorema de Pitágoras.]]
 
'''<u>Demonstração</u>'''
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 Pela '''Proposições 2''' e pelo '''Lema 1''', podemos mostrar que o padrão pitagórico; isto é, a relação entre as áreas, é válido também para polígonos semelhantes, sem necessariamente serem regulares, construídos sobre os lados de um triângulo retângulo, deixamos essa demonstração como exercício.
[[Ficheiro:Pitagoras poligonos semelhantes2.svg|centro|miniaturadaimagem|394x394px|Figura 2122: Polígonos semelhantes cujos lados correspondentes formam um triângulo retângulo. A relação entre suas áreas também satisfaz o teorema de Pitágoras.]]
 
'''A Generalização de Polya'''
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Se as figuras construídas sobre os lados de um triângulo retângulo, independentemente da forma geométrica, forem semelhantes, então o padrão pitagórico das áreas é satisfeito, isto é, a área da figura construída sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas das figuras construídas sobre os catetos.
[[Ficheiro:Pitagoras figuras quaisquer.svg|centro|miniaturadaimagem|330x330px|Figura 2223: Figuras semelhantes cujos lados correspondentes formam um triângulo retângulo. A relação entre as áreas das figuras satisfaz o teorema de Pitágoras.]]
==== Bibliografia ====
* BOYER, C. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.