Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2): diferenças entre revisões
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→Cotangente e cossecante: (Ajuste de formatação) |
→Arcseno e arccosseno: (Ajuste de formatação) |
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Linha 329:
A resposta está nas inversas das funções trigonométricas, também chamamos de arc-funções. Uma arc-função é uma função na qual podemos inserir o valor da função e encontrar o arco que originou este resultado, por isto dizemos que a '''<math>arcfunc(x)</math>''' é aquela que retorna o valor do arco cuja função resulta em ''x''.
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Conforme o anteriormente exposto, temos que encontrar as funções que nos dão o valor do arco que forma um seno ''x'' e o arco que forma um cosseno ''x'', para isto cabe uma observação:
Linha 339:
Assim, dizemos que:
<math>y=\ \mbox{arcsen}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\ \mbox{sen}(y) \and y \in\ \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] </math>
Da mesma forma que:
<math>y=\ \mbox{arccos}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\cos(y) \and y \in\ \left [0,\pi\right ] </math>
{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\sin^{-1} x\ ,\ \cos^{-1} x</math> ou <math>\sin^{-1} (x)\ ,\ \cos^{-1} (x)</math> ou <math>\arcsin x\ ,\ \ \mbox{arccos} x</math> ou ainda <math>\arcsin (x)\ ,\ \ \mbox{arccos} (x)</math>para representação de arcseno e arccosseno respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}}
==== Derivadas do arcseno e arccosseno ====
Seja a função <math>y=\ \mbox{arcsen}(x)</math>, sendo a sua inversa:
<math>x=\ \mbox{sen}(y)</math>,
podemos operá-la desta forma:
<math>dx=\cos(y)dy</math>
<math>\frac{dx}{dy}=\cos(y)</math>,
Por outro lado:
<math>\ \mbox{sen}^2(y)+\cos^2(y)=1</math>
<math>\cos(y)=\sqrt{1-\ \mbox{sen}^2(y)}</math>
<math>\cos(y)=\sqrt{1-x^2}</math>
O que nos dá:
Linha 375:
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
Ainda temos que a função <math>z=\ \mbox{arccos}(x)</math>, sendo a sua inversa:
<math>x=\cos(z)</math>,
podemos operá-la desta forma:
<math>dx=-\ \mbox{sen}(z)dz</math>
<math>\frac{dx}{dz}=-\ \mbox{sen}(z)</math>,
Por outro lado:
<math>\ \mbox{sen}^2(z)+\cos^2(z)=1</math>
<math>\ \mbox{sen}(z)=\sqrt{1-\cos^2(z)}</math>
<math>\ \mbox{sen}(z)=\sqrt{1-x^2}</math>
O que nos dá:
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