Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2): diferenças entre revisões
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→Seno e cosseno hiperbólicos: (Ajuste de formatação) |
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Linha 660:
Da mesma forma que no caso trigonométrico a tangente e as outras funções hiperbólicas são definidas através do seno e do cosseno, ou seja, a tangente é definida como:
<math>\ \mbox{tgh}(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}</math>
ou
<math>\ \mbox{tgh}(x)=\frac{\ \mbox{senh}(x)}{\cosh(x)}</math>
A secante hiperbólica é definida como:
<math>\ \mbox{sech}(x)=\frac{2}{e^x + e^{-x}}</math>
ou
<math>\ \mbox{sech}(x)=\frac{1}{\cosh(x)}</math>
==== Relacionando tangente e secante hiperbólicas ====
Linha 678:
Vamos desenvolver a expressão abaixo:
<math>1-\ \mbox{tgh}^2(x)</math>
<math>1-\left( \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \right)^2 </math>
Linha 688:
<math>\frac{4}{\left(e^{x} + e^{-x}\right)^2} </math>
<math>\frac{1}{\cosh^2(x)}</math>
Portanto:
<math>1-\ \mbox{tgh}^2(x)=\ \mbox{sech}^2(x)</math>
==== Derivada da tangente hiperbólica ====
Seja a função <math>y=\ \mbox{tgh}(x)</math>, temos:
<math>y=\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}</math>
Linha 702:
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right) - \left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right)}{\left(e^{x} + e^{-x} \right)^2}</math>
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left( \cosh^2(x) \right) - \left( \ \mbox{senh}^2(x) \right)}{\left( \cosh^2(x) \right)}</math>
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cosh^2(x)}</math>
Portanto:
<math>\frac{dy}{dx}=\ \mbox{sech}^2(x)</math>
==== Derivada da secante hiperbólica ====
Seja a função <math>y=\ \mbox{sech}(x)</math>, temos:
<math>y=\frac{2}{e^{x} + e^{-x}}</math>
Linha 723:
e finalmente:
<math>\frac{dy}{dx}=-\ \mbox{sech}(x)\ \mbox{tgh}(x)</math>
==== Integral da tangente hiperbólica ====
Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{tgh}(x)</math>, temos:
<math>F(x)=\int \frac{\ \mbox{senh}(x)}{\cosh(x)} dx</math>
Se fizermos:
<math>u=\cosh(x)</math>
<math>du=\ \mbox{senh}(x)dx</math>
verificamos:
Linha 745:
e finalmente:
<math>F(x)=\ln |\cosh(x)| + C \,\!</math>
==== Integral da secante hiperbólica ====
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