Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias: diferenças entre revisões

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=== Método de Euler ===
 
A fórmula que rege esse método é a seguinte<br> <math> y<sub>y_(n+1)</sub> = y<sub>n</sub>y_n + h*f(y<sub>n</sub>y_n,t<sub>n</sub>t_n)</math> (1.1),<br> onde y é igual a f(x) e h é um valor denominado passo; e f(y<sub>n</sub>, t<sub>n</sub>).<br> Nesse artigo não serão dadas explanações sobre a origem da fórmula, porém será explicado como utilizá-la. Imagine o gráfico da EDO y'= f´'(x), e que em seu domínio existam dois pontos X1 e X2,; X1 será a coordenada x da condição inicial e X2 é o valor para o qual você deseja a solução do PVI, o passo é um valor que fará um incremento no valor de X1 até que este chegue até X2 nos cálculos seguintes. O número de incrementos portanto é definido por (X2-X1)/h (1.2).
Torne a EDO do PVI em função de y´n (observe que este é um termo da fórmula acima).Determine o número de passos pela fórmula 1.2. Feito isto podemos iniciar os cálculos para determinar o valor do PVI para determinado valor de x.. A fórmula do método será repetida por várias vezes, portanto por ser um método massivo, seria interessante a utilização de planilhas de cálculo. Para utilizarmos 1.1 devemos primeiramente calcular os valores de yn e y´n. Para a primeira linha do cálculo temos que yn = (y da condição inicial) e y´n é calculado a partir da EDO do PVI para os valores x e y da condição inicial.
Calculados estes dois termos, devemos substituí-los em 1.1, tendo assim efetuado a primeira linha do cálculo, o próximo passo é o cálculo da primeira iteração. Para a primeira iteração temos que yn=(yn+1) calculado na linha anterior e y´n é calculado a partir da EDO do PVI para os valores x +h e (yn+1) da linha de comando anterior; calculados estes dois termos, novamente devemos substituídos em 1.1 e assim terminamos a primeira interação. A segunda iteração tem uma sistemática idêntica a da primeira iteração. Assim iterações sucessivas são executadas até que se atinja a iteração limite calculada anteriormente pela fórmula 1.2; alcançado este valor limite de iteração, o y desejado será o valor da fórmula 1.1 da linha anterior.