Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Ângulo interior ao pentágono: diferenças entre revisões

De um pentágono <i><b>ABCDE</b></i>, sabe-se que <math>\overline{AB}=\overline{BC}</math> e que <math>\overline{CD}=\overline{DE}</math>. Calcule o valor do ângulo <math>M\hat{B}D</math>, sabendo que <i><b>M</b></i> é o ponto médio de <math>\overline{AE}</math> e que o ângulo <math>C\hat{D}E=A\hat{B}C = 90^\circ</math><i><b><big>°</big></i></b>.

Percebe-se pela imagem acima que os ângulos <i><b>FGH</i></b> e <math>\theta</math> são iguais (ambos são colaterais externos, de acordo com o Teorema de Tales). Podemos ainda utilizar o seguinte procedimento: traça-se um arco de circunferência, com raio <i><b>FH</i></b>, ligando o ponto <i><b>H</i></b> ao segmento <i><b>DF</i></b>; outro arco, de raio <i><b>FG</i></b>, conectando o ponto <i><b>G</i></b> ao segmento <i><b>CF</i></b>. Os pontos onde os arcos encontram os lados <i><b>DF</i></b> e <i><b>CF</i></b> formarão exatamente os pontos <i><b>H</i></b> e <i><b>G</i></b>, mas agora superpostos ao triângulo <i><b>CDF</i></b>. Então, ligue esses pontos com um segmento de reta e você terá agora o triângulo <i><b>FGH</i></b>, superposto ao <i><b>CDF</i></b>. Dessa maneira fica evidente que eles são semelhantes. E como semelhantes, teremos que o ângulo <i><b>FGH</i></b> será igual ao ângulo <i><b>FCD</i></b>. Como o enunciado nos informou que o ângulo <i><b>CDE</i></b> é reto e que os segmentos <i><b>CD</i></b> e <i><b>DE</i></b> são iguais, infere-se que o triângulo <i><b>CDE</i></b> é isósceles, com ângulos valendo 90°, 45° e 45°. Como o ângulo <i><b>FCD</i></b> vale 45°, o ângulo <i><b>FGH</i></b> também vale 45° e, <i>voilávoilà</i>, <i><b><math>\theta</math> = 45^\circ</i></b><b>°</bmath>.