Guia de problemas matemáticos/Equações e inequações/Número de soluções inteiras para a inequação 3: diferenças entre revisões
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==O problema==
Se <i><b>x</b></i> é um número inteiro tal que <math>\sqrt{2x^2 + 3x - 5} \leq x+ 1</math>, então calcule o número de elementos do conjunto solução dessa inequação.
==Uma solução==
De início, precisamos ter em mente o seguinte: é impossível extrair a raiz quadrada de números negativos. Portanto, primeiramente, precisamos estabelecer a relação que <i><b>x</b></i> deve satizfazer para tornar viável a extração da raiz quadrada da operação interior ao radical. Então:
<math>2x^2 + 3x - 5 \geq 0</math>
Perceba aqui que o coeficiente de <i><b>x²</b></i> é positivo, então a parábola tem concavidade voltada para cima. Para que essa operação admita valor nulo ou positivo, os números <i><b>x</b></i> que a satisfazem não podem estar entre suas raízes. Vamos encontrar suas raízes então:
<math>x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} = \frac{-3 \pm 7}{4}</math>
<math>x_1 = \frac{-5}{2}</math>
<math> x_2 = 1</math>
Então, o intervalo real que satisfará essa primeira relação é:
<math>S_1 = \left(x \in \Re/x\leq\frac{-5}{2} ou x\geq 1 \right)</math><font color=white>....</font><i><b>(I)</b></i>
Agora, devemos levar em consideração o seguinte fato: um número real positivo possui como raizes quadradas um número positivo e outro negativo (a não ser que ele possua uma raiz nula). Como nesse problema o segundo membro, que está submetido a uma relação com a raiz quadrada de um número, deve ser maior que essa raiz quadrada, ele deve ser nulo (para o caso de a raiz quadrada também ser nula) ou positivo. Transmitindo isso matematicamente:
<math>x + 1\geq 0 \longrightarrow x \geq -1</math><font color=white>....</font><i><b>(II)</b></i>
Nós calculamos, então, as seguintes restrições para <i><b>x</b></i>: proporcionar um número maior ou igual a 0 dentro do radical e fazer com que a operação <i><b>x + 1</b></i> também seja maior ou igual a 0. Como todas as restrições devem ser obedecidas, precisamos interseccionar esses dois intervalos encontrados. Portanto, até agora, temos que <i><b>x</b></i> deve ser maior ou igual a 1, ou seja, <math>S_2 = \left(x \in \Re / x \geq 1 \right)</math>.
Agora, partamos para a inequação propriamente dita. Podemos resolvê-la elevando ao quadrado os dois membros da desigualdade inicial:
<math>\left(\sqrt{2x^2 + 3x - 5}\right)^2 \leq \left(x + 1\right)^2</math>
<math> 2x^2 + 3x - 5 \leq x^2 + 2x + 1</math>
<math>x^2 + x - 6\leq 0</math>
Note que temos uma inequação de 2º Grau em <i><b>x</b></i>, com o coefciente de <i><b>x²</b></i> sendo positivo. Então, a concavidade da parábola correspondente é voltada para cima. Logo, a solução que procuramos está entre as raízes da equação correspondente(quando o gráfico da parábola passa em cima ou abaixo do eixo das abcissas). Precisamos então encontrar as raízes dessa equação:
<math>x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 +24}}{2.1} = \frac{-1 \pm 5}{2}</math>
<math>x_1 = -3</math>
<math>x_2 = 2</math>
<math>S_3 = \left(x \in \Re / -3 \leq x \leq 2 \right)</math>
Acabamos de encontrar o valor para o qual <i><b>x</b></i> satisfaz a relação inicial, ou seja, mais uma restrição para o mesmo. Então, basta interseccionar <i><b>S<sub>2</sub></b></i> com <i><b>S<sub>3</sub></b></i> que obeteremos a solução final:
<math>S_{final} = \left( x \in \Re / 1 \leq x \leq 2\right)</math>
Assim sendo, nesse intervalo final temos apenas '''''dois números inteiros: 1 e 2'''''.
E assim terminamos o problema.
Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.
==Agradecimentos==
*A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.
[[Categoria:Matemática]]
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