Cálculo (Volume 1)/Integrais: diferenças entre revisões

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==Integrais==

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==Antiderivadas e antidiferenciais==

 

Como procedemos para reverter a derivação? O princípio é verificado através da análise da inversão, da seguinte forma:

 

==Definições==

 

Ao operar a inversa da derivada, podemos fazer a análise com as diferenciais, ou seja, cosidere a função <math>y=f(x)+C</math>, então temos: <math>\frac {\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=f\ '(x)</math>, o que nos leva a algo muito interessante:

 

Esta operação é chamada de antidiferencial e é simbolizada por:

 

<math> \int f \cdot \mbox{d} </math>

 

Considerando a questão da indefinição criada pela diferenciação, o processo de antidiferenciação traz uma conseqüência indesejável para o processo de equacionamento de diferenciais. Quando uma equação diferencial é proposta, a constante de antidiferenciação faz com que o processo de resolução seja bastante prejudicado, o que exige que tenhamos técnicas especiais para tentar resolvê-la. Faremos agora uma breve introdução aos conceitos de equações diferenciais, porém, o estudo completo do tema demanda um aprofundamento maior por parte dos interessados, ao longo dos nossos estudos teremos meios para simplificar o processo, embora que a solução de muitas equações diferenciais quando não são impossíveis exigem muito esforço e dedicação.

 

===Diferenciais de primeira ordem===

 

===Constante antidiferencial===

 

A constante resultante da indefinição na antidiferenciação é expressa na equação diferencial como observamos na seção anterior, para aumentar as possibilidades da análise, cosideremo-la como variável, ao fazer isto temos um comportamento interessante para a função resultante; quando atribuimos valores a esta variável temos uma equação para cada valor assumido pela mesma, se observarmos mais atentamente, descobriremos que o gráfico da função mantém a forma, porém varia a altura em relação ao eixo das abscissas (variável independente), ou seja, a equação antidiferencial fornece um conjunto de curvas, o que possibilita uma infinidade de valores.

 

Chamamos esta operação de '''integral''', seu símbolo é o mesmo da antidiferenciação, pois devido aos fatos acima introduzidos e ao teorema fundamental do cálculo, que discutiremos adiante, a operação de antidiferenciação pode ser chamada de '''integral indefinida'''.

 

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==A integral definida==

 

Aprofundando o conceito de que há uma soma de pequenos segmentos de área para cada ponto em uma curva, podemos delimitar uma seção da curva, através da adoção de um intervalo, desta forma teremos uma área definida, a qual chamamos de integral definida. Antes de detalhar o processo para encontrar a referida área faz-se necessário a observação de conceitos que serão úteis para seu desenvolvimento, o próximo tópico abordará a somatória, um procedimento que facilitará o estudo das somas sucessivas que propomos analisar.

 

===Somatórias===

 

O significado deste símbolo é facilmente compreendido: A variável i é chamada de índice, o número n é a quantidade de parcelas, ocorre que, ao substituir estes valores na expressão <math>a_i</math>, fazemos de forma seqüencial, somando um valor ao anterior, como descrito na operação acima, o que resultará no valor final de ''U'', pretendido na referida operação.

 

'''Propriedades'''

 

<math>\sum_{i=1}^n cf(i) = c[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+ \dots +f(n)]</math>

 

====T27 - Adição ====

 

'''Comprovação:'''

 

<math>\sum_{i=1}^n [f(i) + g(i)] = [f(1) + g(1)] + [f(2) + g(2)] + [f(3) + g(3)]+ \dots +[f(n) + g(n)]</math>

 

===Definição da Integral de Riemann===

 

O conceito de integral está ligado à necessidade de encontrar a área de curvas, as abordagens tomadas para solucionar o problema do cálculo de áreas curvas encontram sempre o mesmo resultado. Para não nos extendermos muito, faremos uma explanação do processo chamado: '''Integral de Riemann''', o qual é um dos mais conhecidos.

 

Sejam <math>f(x)</math> e <math>g(x)</math>, funções contínuas no intervalo <math>[a,b]</math>, podemos afirmar que:

 

====T29 - Limites iguais====

 

<math> \int^a_a f(x) \mbox{d} x = 0</math>

 

O que comprova o teorema.

 

====T30 - Fator do integrando====

 

Sendo ''K'' constante:

 

====T31 - Inversão dos limites====

 

<math> \int^b_a f(x) \mbox{d} x = - \int^a_b f(x) \mbox{d} x</math>

 

O que comprova o teorema.

 

====T32 - Adição====

 

<math> \int^b_a [f(x) + g(x)] \mbox{d} x = \int^b_a f(x) \mbox{d} x + \int^b_a g(x) \mbox{d} x </math>

 

Sendo a integral:

 

<math> \int^b_a [f(x) + g(x)] \mbox{d} x = \lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} [f({\xi}_i)\ +\ g({\xi}_i)] {\Delta}_i x </math>

 

O que comprova o teorema.

 

====T33 - Seções complementares====

 

Sendo ''c'' constante e <math> a<c<b </math>:

 

Que é semelhante a propriedade da soma das áreas de dois objetos que formam um corpo maior, que costumamos usar na geometria e que prova o teorema.

 

====T34 - Valor médio====

 

logo:

 

<math>M \approx \frac {\sum^n_{i=1} f({\xi}_i) \Delta x}{b-a}</math>

 

O que comprova o teorema.

 

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===T35 - Teorema fundamental do cálculo===

 

Seja a função <math>f(x)</math> contínua no intervalo <math>[a,b]</math>, a sua integral definida entre ''a'' e ''b'' é obtida pela operação que segue:

 

<math>g(x)=\int f(x) \mbox{d} x </math>

 

Chegamos ao ponto culminante deste estudo inicial sobre as integrais, este teorema, chamado de '''Teorema fundamental do cálculo''', é a base de nossas análises mais específicas nos próximos capítulos, ele afirma que a integral definida pode ser obtida através da antidifererncial da função, para tal, adotamos a seguinte notação :

 

<math>\int^b_a f(x) \mbox{d} x = g(x)|^b_a</math>

 

'''Comprovação:'''