Álgebra linear/Sistemas de equações lineares: diferenças entre revisões
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==Métodos para a resolução de sistemas lineares==
===Eliminação de variáveis===
Sabe-se que sistemas lineares em poucas variáveis podem ser resolvidos facilmente usando o ''[[w:Sistema de equações lineares#Método da soma|método da soma]]'' ou o ''[[w:Sistema de equações lineares#Método da substituição|método da substituição]]''. No entanto, estas técnicas não são muito práticas ao lidar com sistemas grandes, onde exista um grande número de variáveis. Apesar disso, tais procedimentos podem ser generalizados, dando origem a algoritmos como a ''[[w:Eliminação de Gauss|eliminação de Gauss]]'' e a [[w:Eliminação de Gauss-Jordan|eliminação de Gauss-Jordan]], que pode ser usado em situações mais gerais. O método da ''eliminação gaussiana'' será estudado em um [[../Eliminação gaussiana|capítulo posterior]].▼
Um método bastante simples para a resolução de um sistema linear é ''eliminar as variáveis'', uma após a outra. Este método consiste dos seguintes passos:
# Na primeira equação, isole uma das variáveis em função das outras.
# Substitua a expressão acima em cada uma das outras equações. Isso produz um outro sistema de equações, com uma equação a menos e uma variável a menos.
# Repita o passo anterior até que reste apenas uma equação linear.
# Resolva esta equação e use a resposta obtida para determinar as demais variáveis nas outras equações.
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:100%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
Por exemplo, se o sistema linear for
:<math>\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 5 & \\
3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 6z &&\; = \;&& 7 & \\
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 8 &
\end{alignat}</math>
pode-se resolver a primeira equação em ''x'', obtendo <math>x=5 + 2z - 3y</math> e usando essa expressão na segunda e terceira equações, segue:
:<math>\begin{alignat}{5}
-4y &&\; + \;&& 12z &&\; = \;&& -8 & \\
-2y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& -2 &
\end{alignat}</math>
Agora, se a primeira das duas equações for resolvida em ''y'', obtem-se <math>y=2 + 3z</math>, que substituido na última equação fornece:
:<math>\begin{alignat}{7}
x &&\; = \;&& 5 &&\; + \;&& 2z &&\; - \;&& 3y & \\
y &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 3z && && & \\
z &&\; = \;&& 2 && && && && &
\end{alignat}</math>
Colocando <math>z=2</math> na segunda equação, tem-se <math>y=8</math> e usando esses valores na primeira equação segue que <math>x=-15</math>.
Portanto, o conjunto solução deste sistema consiste de um único ponto <math>\{(-15,8,2) \}</math>.
}}
Sabe-se que sistemas lineares em poucas variáveis também podem ser resolvidos usando outros métodos. Veja na [[w:|Wikipédia]] os artigos sobre o ''[[w:Sistema de equações lineares#Método da soma|método da soma]]'' e a ''[[w:regra de Cramer|regra de Cramer]]''.
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O método da ''eliminação gaussiana'' será estudado em um [[../Eliminação gaussiana|capítulo posterior]].
Muitas vezes é preciso resolver vários sistemas lineares que diferem apenas em seus termos constantes. Os coeficientes das incógnitas permanecem os mesmos. Uma técnica chamada de ''[[w:Decomposição LU|decomposição LU]]'' é usada nestes casos. Em situações muito particulares, ela adminte uma variante conhecida como ''[[w:Fatoração de Cholesky|fatoração de Cholesky]]''. Tais técnicas serão estudadas nos últimos capítulos.
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