Teoria de números/Números primos: diferenças entre revisões
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Linha 249:
Um fato curioso é que a última linha da tabela corresponde ao maior número primo da forma <math>n!+1\,\!</math> para valores de <math>n\,\!</math> até 35500.
==== Demonstração de Saidak
Esta demonstração foi publicada recentemente pelo pesquisador Filip Saidak, em seu artigo ''[[../Bibliografia|A new proof of Euclid’s theorem]]'' de 2006. A prova consiste no seguinte:
Forma-se uma sequência crescente de números <math>N_1,\ldots N_k,\ldots\!</math>, de tal modo que cada termo <math>N_k\,\!</math> tenha pelo menos <math>k\,\!</math> fatores primos. Dessa forma, inevitavelmente, conclúi-se que existem infinitos números primos.
A sequência inicia com <math>N_1>1\,\!</math>.
Como <math>N_1\,\!</math> e <math>N_1 + 1\,\!</math> não têm divisores em comum, o produto <math>N_2 = N_1(N_1 + 1)\,\!</math> possui ao menos 2 divisores primos.
Do mesmo modo, <math>N_2\,\!</math> e <math>N_2 + 1\,\!</math> não têm fatores em comum, logo <math>N_3 = N_2(N_2 + 1)\,\!</math> possui ao menos 3 fatores primos.
O processo pode continuar indefinidamente, definindo-se sempre <math>N_k = N_{k-1}(N_{k-1} + 1)\,\!</math>, e cada <math>N_k\,\!</math> terá no mínimo k fatores primos (verifique isto por indução!).
===== Exemplos =====
Tomando <math>N_1=2\,\!</math>, obtem-se a seguinte tabela:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
!<math>k\,\!</math> || <math>N_k\,\!</math> || Fatoração de <math>N_k\,\!</math>
|-
|<math>1\,\!</math> || <math>2 = 1+1\,\!</math> || <math>2\,\!</math>
|-
|<math>2\,\!</math> || <math>6 = 2\cdot(2+1)\,\!</math> || <math>2\cdot3\,\!</math>
|-
|<math>3\,\!</math> || <math>42 = 6\cdot(6+1)\,\!</math> || <math>2\cdot3\cdot7\,\!</math>
|-
|<math>4\,\!</math> || <math>1806 = 42\cdot(42+1)\,\!</math> || <math>2\cdot3\cdot7\cdot43\,\!</math>
|-
|<math>5\,\!</math> || <math>3263442 = 1806\cdot(1806 +1)\,\!</math> || <math>2\cdot3\cdot7\cdot43\cdot13\cdot139\,\!</math>
|}
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