Teoria de números/Números primos: diferenças entre revisões
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Esses conjuntos, assim como o conjunto dos números inteiros, possuem "blocos básicos" que permitem gerar todos os seus elementos a partir da multiplicação. No entanto, os exemplos servirão como motivação para o ''Teorema fundamental da artimética'' que será demosntrado posteriormente. Esse teorema garante que um número inteiro só possui <u>uma decomposição</u> em fatores primos, ou seja, se Carlos e Joana encontrarem duas fatorações em primos para um certo número inteiro <math>n</math>, então ambos encontraram os mesmos números primos, cada um aparecendo a mesma quantidade de vezes nas duas fatorações.
Ao contrário do que se possa esperar, essa propriedade não é uma consequência imediata das definições de divisibilidade e de números primos. Na verdade, a
Os próximos exemplos servirão, portanto, para mostrar que em conjuntos onde se tem apenas uma estrutura multiplicativa, a decomposição em fatores "primos" (será dado um novo significado ao termo) pode não ser única.
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|<math>5\,\!</math> || <math>3263442 = 1806\cdot(1806 +1)\,\!</math> || <math>2\cdot3\cdot7\cdot43\cdot13\cdot139\,\!</math>
|}
== Teorema fundamental da aritimética ==
A decomposição de um número inteiro <math>n \in \mathbb{N}^*\,\!</math> em fatores primos é única, exceto pela ordem. Em símbolos:
Se <math>p_1\cdot\ldots\cdot p_r = n = q_1\cdot\ldots\cdot q_s\,\!</math>, e cada <math>p_j\,\!</math> e todo <math>q_j\,\!</math> é um número primo, então <math>r=s\,\!</math> e para cada <math>j\,\!</math> tem-se <math>p_j = q_{\sigma(j)}\,\!</math>, para alguma permutação <math>\sigma\,\!</math>.
Uma consequência deste teorema é que se <math>n = p_1\cdot p_2\cdot p_3 = q_1\cdot q_2\cdot q_3</math> são decomposições em fatores primos do número <math>n</math>, então deve ser possível "cancelar" um a um os fatores que aparecem nas duas fatorações.
Para ser possível tal "cancelamente de termos", será necessário utilizar o resultado de um outro teorema: ''Se um número primo divide o produto de dois números inteiros, então ele é divisor de um dos dois''. Este fato já era conhecido por [[w:Euclides|Euclides]]. A estrutura aditiva de <math>\mathbb{Z}\,\!</math> será crucial na demonstração desta propriedade e consequentemente, do teorema fundamental da aritmética.
Em vez de demonstrar imediatamente a propriedade acima, será suposto que a mesma é válida e será feita a prova do teorema principal deste capítulo.
;Observação:
Em [[Álgebra]] a propriedade mencionada é usada para definir "primo" e em geral, a "irredutibilidade" (definida nos exemplos do primeiro capítulo) não coincide com a noção de "primalidade".
=== Demonstração ===
A prova será feita por indução.
Se <math>k=2\,\!</math>, o resultado é imediato, então considere que o mesmo vale para todo número inteiro menor que <math>k = n\,\!</math>.
Supondo que existem duas decomposições para o inteiro <math>n\,\!</math>, ou seja, <math>n = p_1\cdot\ldots\cdot p_r = q_1\cdot\ldots\cdot q_s\,\!</math>, segue que algum <math>q_j\,\!</math> é múltiplo de <math>p_1\,\!</math>. Como a ordem dos fatores não é importante, pode-se supor que <math>j=1\,\!</math>.
Neste caso, seque que <math>p_1=q_1\,\!</math>, pois <math>p_1\not=1\,\!</math> e os únicos divisores de <math>q_1\,\!</math> são <math>1\,\!</math> e ele próprio.
Logo,
:<math>n = \mathbf{p_1}\cdot\ldots\cdot p_r = \mathbf{p_1}\cdot\ldots\cdot q_s</math> implica que <math>m = p_2\cdot\ldots\cdot p_r = q_2\cdot\ldots\cdot q_s\,\!</math>
Certamente <math>m <n \,\!</math>, então pela hipótese de indução, <math>m</math> possui uma fatoração única, donde <math>r=s\,\!</math> e <math>p_j=q_j\,\!</math>, para cada índice<math>j\,\!</math>.
Assim, a fatoração de <math>n\,\!</math> é única.
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