Teoria de números/Números primos: diferenças entre revisões
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Corolário do T.F.A; a função v_p(n) e a irracionalidade de sqrt(2) |
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== Teorema fundamental da
A decomposição de um número inteiro <math>n \in \mathbb{N}^*\,\!</math> em fatores primos é única, exceto pela ordem. Em símbolos:
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== Corolário ==
Todo <math>n \in \mathbb{N}^*\,\!</math> pode ser escrito como <math>n = p_1^{e_1}\cdot\ldots\cdot p_r^{e_r}\,\!</math>, com <math>p_1< p_2<\ldots<p_r\,\!</math> e <math>e_i\ge 1\,\!</math>.
Esta é chamada de ''forma padrão'' da decomposição em fatores primos.
Outra forma de escrita é
:<math>n = \prod_{p} p^{e_p}\,\!</math>, com <math>e_i=0\,\!</math>, exceto para uma quantidade finita de <math>p\,\!</math>'s.
A partir dessa notação pode-se definir uma função <math>v_p:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\,\!</math> escolhendo <math>v_p(n)=e_p\,\!</math>.
Verifica-se que a função acima definida goza das seguintes propriedades:
# <math>v_p(m\cdot n) = v_p(m) + v_p(n)\,\!</math>
# <math>v_p(m + n) \ge max (v_p(m), v_p(n))\,\!</math>
Essa função oferece uma forma "elegante" de se fazer certas demonstrações. Por exemplo, a irracionalidade de <math>\sqrt{2}\,\!</math> é provada assim:
Se <math>\sqrt{2}\,\!</math> fosse racional, poderia ser escrito como <math>\sqrt{2}= \frac{a}{b}\,\!</math>, sendo que <math>a,b \in \mathbb{Z}\,\!</math>, e <math>b\not=0\,\!</math>.
Neste caso, seria verdade que <math> \left(\frac{a}{b}\right)^2=2\,\!</math>, ou seja, <math>a^2 = 2b^2\,\!</math>.
Aplicando a função <math>v_2\,\!</math> em ambos os membros, segue que
:<math>2v_2(a) = v_2(a^2) = v_2(2b^2) = v_2(2) + 2v_2(b) = 1 + 2v_2(b)\,\!</math>
No entanto, essa igualdade não é possível, pois o primeiro membro é um número par, e o último é ímpar.
Logo, <math>\sqrt{2}\,\!</math> só pode ser irracional.
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