Teoria de números/Números primos: diferenças entre revisões

Todo número inteiro positivo tem decomposição em fatores primos.

}}

 

Dado um número inteiro <math>n\,\!</math>, vamos mostrar por [[w:Indução matemática|indução]] que <math>n=p_1\cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_r\,\!</math>, com cada <math>p_j\,\!</math> sendo um número primo.

}}

=== Demonstrações ===

Considere um conjunto finito de números primos, contendo uma quantidade arbitrária de elementos. Denote tal conjunto por <math>P = \{ p_1, \ldots, p_r\}\,\!</math>.

 

Não serve escolher <math>n = 4 b_1, \ldots, b_r + 1 \,\!</math>. Por que?

 

Esta demonstração, assim como algumas outras, é uma variante daquela dada por Euclides. Acompanhe:

Para cada número natural <math>n\,\!</math>, defina-se <math>x(n)=n!+1\,\!</math>.

 

Um fato curioso é que a última linha da tabela corresponde ao maior número primo da forma <math>n!+1\,\!</math> para valores de <math>n\,\!</math> até 35500.

 

Esta demonstração foi publicada recentemente pelo pesquisador Filip Saidak, em seu artigo ''[[../Bibliografia|A new proof of Euclid’s theorem]]'' de 2006. A prova consiste no seguinte:

 

* A estrutura aditiva de <math>\mathbb{Z}\,\!</math> será crucial na demonstração desta propriedade e consequentemente, do teorema fundamental da aritmética.

 

A prova será feita por indução.

Se <math>k=2\,\!</math>, o resultado é imediato, então considere que o mesmo vale para todo número inteiro menor que <math>k = n\,\!</math>.