Teoria de números/Equações diofantinas

Neste capítulo serão estudados certos problemas cuja solução envolve conceitos da teoria de números que foram tratados nos capítulos anteriores.

Considere o seguinte problema:

Se existem notas de 2 e de 5 reais, quais são os valores que podem ser obtidos combinando algumas dessas notas?

Matemáticamente, o que se quer saber é:

Quais os valores de $n\,\!$, para os quais a solução $2x+5y=n\,\!$ possui alguma solução inteira?

Em geral, as equações que surgem no contexto da teoria de números devem ser resolvidas no conjunto dos números inteiros. Este tipo de equação é conhecido como equação diofantina.

As equações diofantinas lineares

A equação que surgiu do exemplo apresentado no início do capítulo é apenas um caso particular da seguinte: $ax+by=n\,\!$. Aqui, os inteiros $a\,\!$ e $b\,\!$ são fixados.

Quando é que tal equação possui solução?

O próximo teorema responde exatamente essa pergunta.

Teorema

Insira o enunciado do teorema.

Demonstração
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