Teoria de números/Equações diofantinas: diferenças entre revisões
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{{Teorema|texto=
Dados <math>a,b \in \mathbb{Z}\,\!</math>, existem <math>x,y \in \mathbb{Z}\,\!</math> tais que <math>ax+by = n\,\!</math> se, e somente se, <math>(a,b)|n\,\!</math>.
Além disso, se <math>(x_0,y_0)\,\!</math> é solução, então todas as soluções são da forma:
<math>x = x_0 - b't\,\!</math> e <math>y = y_0 +a't\,\!</math>, onde <math>a=a'd\,\!</math> e <math>b=b'd\,\!</math>.
}}
{{Demonstração|
Suponha que <math>(x,y)\,\!</math> e <math>(x_0,y_0)\,\!</math> são soluções, ou seja que:
:<math>n = ax+by=ax_0+by_0\,\!</math>
Então <math>a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\,\!</math>, ou seja, <math>a(x-x_0)=-b(y-y_0)\,\!</math>.
Se <math>d=(a,b)\,\!</math>, então é possível escrever
* <math>a=a'd\,\!</math>
* <math>b=b'd\,\!</math>
Donde:
:<math>a'(x-x_0)=-b'(y-y_0)\,\!</math>
Claramente <math>(a',b')=1\,\!</math> e <math>a|-b'(y-y_0)\,\!</math>.
Logo
:<math>a'|(y-y_0)\,\!</math>
ou seja, existe <math>t \in \mathbb{Z}\,\!</math> tal que
:<math>a't=y-y_0\,\!</math>
Portanto, <math>y=y_0+a't\,\!</math>
Usando essa expressão em
:<math>a'(x-x_0) = -b'(y-y_0)\,\!</math>
resulta
:<math>a'(x-x_0) = -b'(y_0+a't-y_0) = -b'a't\,\!</math>
Disto se conclui que <math>x=x_0-b't\,\!</math>.
}}
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