Teoria de números/Equações diofantinas: diferenças entre revisões
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{{Teorema|texto=
Dados <math>a,b \in \mathbb{Z}\,\!</math>, existem <math>x,y \in \mathbb{Z}\,\!</math> tais que <math>ax+by = n\,\!</math> se, e somente se, <math>d = (a,b)|n\,\!</math>.
Além disso, se <math>(x_0,y_0)\,\!</math> é solução, então todas as soluções são da forma:
Linha 24:
}}
{{Demonstração|
Primeiramente, observe que se <math>(x,y)\,\!</math> é uma solução, então <math>d|ax+by = n\,\!</math> (pela linearidade da divisibilidade).
Reciprocamente, se <math>d|n\,\!</math>, então <math>n=n'd\,\!</math>.
Mas pelo teorema de Bézout, existem inteiros <math>r,s\,\!</math> tais que <math>ar+bs=d\,\!</math>. Logo, multiplicando cada membro por <math>n'\,\!</math>, tem-se:
:<math>n'(ar+bs)=n'd=n\,\!</math>
ou seja, basta tomar <math>x=n'r\,\!</math> e <math>y=n's\,\!</math>, e <math>(x,y)\,\!</math> será solução.
Resta determinar a forma geral de todas as demais soluções.
Suponha que <math>(x,y)\,\!</math> e <math>(x_0,y_0)\,\!</math> são soluções, ou seja que:
:<math>n = ax+by=ax_0+by_0\,\!</math>
Linha 51 ⟶ 61:
Disto se conclui que <math>x=x_0-b't\,\!</math>.
}}
Assim como acontece em problemas que envolvem [[w:equações diferenciais|equações diferenciais]], para determinar o [[w:conjunto solução|conjunto solução]] de uma equação diofantina, encontra-se primeiramente uma solução particular, e combina-se a mesma com a solução da equação homogênea (no caso, <math>ax+by=0\,\!</math>)
=== Interpretação geométrica ===
Sabe-se que o conjunto dos pontos <math>(x,y)\,\!</math> (com coordenadas reais) que verificam a equação <math>d = ax+by\,\!</math> é representado por uma reta sobre o plano cartesiano. Então as soluções da [[w:Equação diofantina|equação diofantina]] <math>d = ax+by\,\!</math>, são representadas pelos pontos da reta que possuem ambas as coordenadas inteiras.
O curioso é que o ponto desta reta que é obtido pelo algoritmo de Euclides, na busca pelo <math>(a,b)\,\!</math> é justamente aquele que está mais próximo da origem (entre os que possuem coordenadas inteiras).
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