Teoria de números/Máximo divisor comum: diferenças entre revisões
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Assim, seus primeiros termos são: <math>1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots\,\!</math>
Também é possível demonstrar que é válida a [[w:Fórmula de Binet|fórmula de Binet]]:
:<math>F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^n - \left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^n \right \}\,\!</math>▼
}}
Matricialmente, as condições <math>q_0 = 1,\ldots, q_{k+1} = 1\,\!</math> produzem as seguintes igualdades:
* <math>\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \mathbf{1} & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2\\ 2 & 1 \end{bmatrix}\,\!</math>▼
▲Segue, por um simples uso do princípio de indução, que:
:<math>\begin{bmatrix} \mathbf{1} & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} F_{n+1} & F_{n}\\ F_{n} & F_{n-1} \end{bmatrix}\,\!</math>
Deste modo,
▲
▲:<math>F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^n - \left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^n \right \}\,\!</math>
=== Teorema de Lamé ===
{{Teorema|texto=
Dado <math>n\ge 1\,\!</math>, sejam <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math> os menores números tais que o algoritmo de Euclides aplicado a <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math> leva exatamente <math>n\,\!</math> passos, então <math>a=F_{n+2}\,\!</math> e <math>b=F_{n+1}\,\!</math>.
}}
== Exercícios ==
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