Teoria de números/Máximo divisor comum: diferenças entre revisões

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Linha 298:
 
Escrevendo <math>\Delta = det(M) = a'v-b'u\,\!</math>, tem-se
:<math>\Delta = det(Q_0 \cdot Q_1 \cdot \ldots \cdot Q_{k+-1}) = det(Q_0) \cdot det(Q_1) \cdot \ldots \cdot det(Q_{k+-1}) = (-1)^{k+2}\,\!</math>, pois cada matriz <math>Q_i\,\!</math> tem determinante igual a <math>-1\,\!</math>.
 
Logo, a matriz <math>M\,\!</math> é invertível e <math>M^{-1} = \frac{1}{\Delta}\begin{bmatrix} v & -u\\ -b' & a' \end{bmatrix} = \Delta\begin{bmatrix} v & -u\\ -b' & a' \end{bmatrix}\,\!</math>. Esta última igualdade se justifica pois <math>\Delta = \Delta^{-1}\,\!</math>.
 
Dessas considerações, resulta que:
:<math>\begin{bmatrix} d \\ 0 \end{bmatrix} = M^{-1}\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \Delta\begin{bmatrix} v & -u\\ -b' & a' \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\,\!</math>, donde
 
Fazendo o produto, e igualando cada componente, conclui-se que:
 
<math>\left\{\begin{matrix}
Linha 309 ⟶ 311:
0 & = & \Delta(-b'a+a'b)\\
\end{matrix}\right.\,\!</math>
 
 
A primeira destas equções corresponde ao teorema de Bézout, com <math>x = \Delta v\,\!</math> e <math>y = -\Delta u\,\!</math>. Já a segunda, implica em <math>b'a = a'b\,\!</math>. Esse valor coincide com o conhecido ''mínimo múltiplo comum entre <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math>'', definido a seguir:
 
{{Definição|texto=
O ''mínimo múltiplo comum'' dos inteiros <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math>, <math>mmc(a,b)\,\!</math>, é o menor elemento positivo do conjunto <math>M(a,b) = \{ x \in \mathbb{Z}: a|x, b | x\}\,\!</math>
}}
 
Linha 332 ⟶ 333:
 
Para este exemplo, a matriz inversa é
:<math>M^{-1} = (-1)^{3+2}\begin{bmatrix} 1 & -2\\ -3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2\\ 3 & -5 \end{bmatrix}\,\!</math>
 
Logo,
Linha 340 ⟶ 341:
* <math>mmc(30,18) = 3\cdot 30 = -5\cdot 18 = 90\,\!</math>
 
Note que, quando <math>a,b\,\!</math> são positivos, a expressão <math>d=a(\Delta v)+b(-\Delta u)=ax+by\,\!</math> deve ter exatamente '''um''' dos valores <math>x,y\,\!</math> menor que zero, para que a combinação linear de <math>a,b\,\!</math> não seja menormaior que cadaqualquer um deles.
 
== Uma demonstração alternativa do teorema de Bézout ==