Diferenças entre edições de "Teoria de números/Equações diofantinas"

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+ conteúdo: soma de quadrados
(+resolução do problema proposto)
(+ conteúdo: soma de quadrados)
 
Sabe-se que o conjunto dos pontos <math>(x,y)\,\!</math> (com coordenadas reais) que verificam a equação <math>d = ax+by\,\!</math> é representado por uma reta sobre o plano cartesiano. Então as soluções da [[w:Equação diofantina|equação diofantina]] <math>d = ax+by\,\!</math>, são representadas pelos pontos da reta que possuem ambas as coordenadas inteiras.
 
O curioso é que o ponto desta reta que é obtido pelo algoritmo de Euclides, na busca pelo <math>(a,b)\,\!</math> é justamente aquele que está mais próximo da origem (entre os que possuem coordenadas inteiras).
 
{{Tarefa|Incluir figura mostrando uma reta <math>ax+by=d\,\!</math>, que passa por vários pontos de coordenadas inteiras, e cujo ponto mais próximo da origem (e com coordenadas inteiras) é destacado.}}
 
== Diferênca de quadrados ==
 
Um outro problema que pode ser tratado com as ferramentas desenvolvidas até agora é a busca de soluções inteiras para a seguinte equação:
:<math>n = x^2 + y^2\,\!</math>
 
Buscar tais soluções significa determinar se existe algum inteiro <math>n\,\!</math> que pode ser escrito como soma de dois [[w:Quadrado perfeito|quadrados perfeitos]]. Se a resposta for afirmativa, será interessante saber ''exatamente'' quais são os números inteiros <math>n\,\!</math> que são soma de quadrados.
 
Estes são alguns exemplos desse tipo de problema:
*<math>x^2 + y^2 = 30\,\!</math> tem soluções inteiras?
*<math>x^2 + y^2 = 32\,\!</math> tem soluções inteiras?
 
Para poder responder essas perguntas, considere que exista uma solução da equação
:<math>n = x^2 + y^2\,\!</math>
No caso, a solução é <math>x,y\,\!</math>.
 
O que se pode afirmar sobre os inteiros <math>x,y\,\!</math>?