Diferenças entre edições de "Teoria de números/Equações diofantinas"

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+texto sobre diferença de quadrados... (e cat.)
m (ops... é diferênça, não soma!)
(+texto sobre diferença de quadrados... (e cat.))
Se existem notas de 2 e de 5 reais, quais são os valores que podem ser obtidos combinando algumas dessas notas?
 
MatemáticamenteMatematicamente, o que se quer saber é:
Quais os valores de <math>n\,\!</math>, para os quais a solução <math>2x+5y = n\,\!</math> possui alguma solução '''inteira'''?
 
{{Tarefa|Incluir figura mostrando uma reta <math>ax+by=d\,\!</math>, que passa por vários pontos de coordenadas inteiras, e cujo ponto mais próximo da origem (e com coordenadas inteiras) é destacado.}}
 
== DiferênçaDiferença de quadrados ==
 
Um outro problema que pode ser tratado com as ferramentas desenvolvidas até agora é a busca de soluções inteiras para a seguinte equação:
*<math>x^2 - y^2 = 32\,\!</math> tem soluções inteiras?
 
Para poder entender a estratégia para a resolução desse tipo de problema, considere que a segunda equação tenha alguma solução <math>x,y\,\!</math>:
Para poder responder essas perguntas, considere que exista uma solução da equação
:<math>32 = x^2 - y^2\,\!</math>
 
O que se pode afirmar sobre osesses inteirosdois <math>x,y\,\!</math>números inteiros?
 
Primeiramente, deve valer <math>32 = x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)\,\!</math>, ou seja, a soma e a diferença das soluções devem ser divisores de <math>32\,\!</math>. Sabe-se, por exemplo, que <math>32 = 8 \cdot 4\,\!</math>. Será que existem inteiros <math>x,y\,\!</math> tais que
* <math>x + y = 8\,\!</math>
* <math>x - y = 4\,\!</math>
Por inspeção, percebe-se que <math>x=6\,\!</math> e <math>y=2\,\!</math> servem, logo <math>32=6^2 - 2^2 = 36 - 4\,\!</math>.
 
E quanto ao outro problema?
 
É possível encontrar um par de divisores de <math>30\,\!</math> (por exemplo, <math>d\,\!</math> e <math>\frac{30}{d}\,\!</math>) tais que um seja a soma, e outro a diferença das soluções?
 
Observe:
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
!colspan="2" | Divisores de <math>30\,\!</math>
|-
|<math>d\,\!</math> || <math>\frac{30}{d}\,\!</math>
|-
|<math>1\,\!</math> || <math>30\,\!</math>
|-
|<math>2\,\!</math> || <math>15\,\!</math>
|-
|<math>3\,\!</math> || <math>10\,\!</math>
|-
|<math>5\,\!</math> || <math>6\,\!</math>
|}
 
Você é capaz de encontrar alguma linha dessa tabela contendo a soma e a diferença de dois números inteiros? Justifique.
 
Em vez de continuar tratando o problema baseando-se em exemplos particulares, considere que existem <math>x,y\,\!</math> satisfazeno a equação em sua forma geral:
:<math>n = x^2 - y^2\,\!</math>
No caso, a solução é <math>x,y\,\!</math>.
 
Conforme anteriormente, conclui-se que, para alguma escolha de <math>u, v\,\!</math>, tais que <math>n = u \cdot v\,\!</math>, tem-se <math>u=x+y\,\!</math> e <math>v=x-y\,\!</math>, ou seja, para tais divisores de <math>n\,\!</math> existe uma solução <math>x,y\,\!</math> para o sistema:
O que se pode afirmar sobre os inteiros <math>x,y\,\!</math>?
:<math>\left\{\begin{matrix}
x + y & = & u\\
x - y & = & v\\
\end{matrix}\right.\,\!</math>
 
Equivalentemente, tais inteiros <math>x,y\,\!</math> são também solução do sistema:
:<math>\left\{\begin{matrix}
2x & = & u + v\\
2y & = & u - v\\
\end{matrix}\right.\,\!</math>
 
Se você interpretar essas equações adequadamente, concluirá que <math>u,v\,\!</math> devem ter a mesma paridade (ser ambos pares ou ambos ímpares). De fato, se um deles for par e o outro for ímpar, sua soma será um número ímpar, e consequentemente não poderá ser escrita como <math>2x\,\!</math>, para nenhum valor inteiro <math>x\,\!</math>.
 
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