Álgebra linear/Matrizes: diferenças entre revisões

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}}
__NOTOC__
{{Rdc}}
== Introdução ==
 
O termo ''matriz'' pode ser mais conhecido entre programadores e profissionais da [[w:informática|informática]], como sendo uma [[w:estrutura de dados|estrutura de dados]]. Em [[w:matemática|matemática]], no entanto, matrizes são consideradas de forma bastante diferente.
Abaixo seguem informações sobre as principais operações definidas para matrizes. Abaixo matrizes serão representadas por letras maiúsculas e seus índices por letras minúsculas. Números escalares serão representados pela letra <math>k</math>.
<div style="text-align:center; border: 1px solid #8C1717; padding: 0.3em; -moz-border-radius: 25px">
<div style="text-align:left; border: 1px solid #97694F; padding: 1.0em; -moz-border-radius: 20px">
Intuitivamente, uma '''matriz''' é uma ''[[w:lista|lista]] de números'', dispostos em ''linhas'' e ''colunas'', ou seja, é um ''tipo de [[w:tabela|tabela]]''.
</div></div>
Logo abaixo, apresenta-se uma matriz. A notação utilizada é bastante comum.
{{Wikipedia|Matriz (matemática)|Matriz}}
:<math> A = \begin{pmatrix}
2 & 4&10\\
1&-3&-7\\
3&0&0\\
5&5&0
\end{pmatrix}
</math>
 
A matriz acima tem 4 linhas e 3 colunas, então pode ser chamada de matriz 4 &times; 3 (matriz 4 por 3). Além disso, pode-se ter matrizes de muitas formas diferentes. A ''forma'' de uma matriz é o nome das dimensões da mesma (''m'' por ''n'', quando ''m'' é o número de linhas e ''n'' é o número de colunas). A seguir são indicados alguns outros exemplos de matrizes, adotando outras possíveis notações.
 
{{CaixaMsg|tipo=dica|style=width:50%; border:1px solid #aaa; float:right; clear:right; margin-left: 10px;|texto=
==Multiplicação por um escalar==
'''Para saber mais...'''
 
A ''teoria de matrizes'' estudada neste módulo está intimamente ligada com a ''[[../Sistemas de equações lineares|teoria de sistemas de equações lineares]]'' apresentada anteriormente. Os antigos chineses estabeleceram uma forma sistemática de resolver equações simultâneas. A ''teoria de equações simultâneas'' foi popularizada no oriente pelo matemático japonês [[w:Seki Kowa|Seki]] e, um pouco depois, por [[w:Gottfried Leibniz|Leibniz]], o maior rival de [[w:Isaac Newton|Newton]]. Posteriormente, [[w:Carl Friedrich Gauss|Gauss]], outro grande nome da matemática moderna, popularizou o uso de um algoritmo para a resolução de qualquer número de equações lineares simultâneas. Em sua homenagem, o processo passou a ser conhecido como [[eliminação gaussiana]]<ref name="Site1">Para saber mais sobre o surgimento das matrizes, pode ser consultado [http://www.ualr.edu/lasmoller/matrices.html este site].</ref>.
A multiplicação é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes.
{{Definição|texto=
Para multiplicar um número <math>k</math> qualquer por uma matriz n×m <math>A</math>, basta multiplicar cada entrada <math>a_{ij}</math> de <math>A</math> por <math>k</math>. Assim, a matriz resultante <math>B</math> será também n×m e <math>b_{ij} = k \cdot a_{ij}</math>.
}}
Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.
 
Este é um exemplo de matriz 3 &times; 3:
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
:<math> B = \begin{pmatrix}
;Exemplo:
1&2&3\\
4&5&6\\
7&8&9\\
\end{pmatrix}
</math>
 
Esta matriz tem a forma 5 &times; 4:
: <math>2
:<math> T = \begin{bmatrixpmatrix}
9 a& 1 b& -2 c&d\\
h&g&f&e\\
1 & -5 & 3
i&j&k&l\\
\end{bmatrix}
p&o&n&m\\
=
q&r&s&t\\
\begin{bmatrix}
\end{pmatrix}
2\times 9 & 2\times 1 & 2\times (-2) \\
2\times 1 & 2\times (-5) & 2\times 3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
18 & 2 & -4 \\
2 & -10 & 6
\end{bmatrix}
</math>
}}
É impossível somar ou subtrair escalares de matrizes.
 
Aqui, tem-se uma matriz 1 &times; 6:
A multiplicação por escalar possui as seguintes propriedades:
:<math> V = \begin{pmatrix}
2&3&5&7&11&13\\
\end{pmatrix}
</math>
 
As matrizes são ''objetos matemáticos'' que além de permitirem uma boa ''organização espacial'' de conjuntos de dados numéricos, podem ser ''operadas'' com números (''multiplicação por escalar'') e com outras matrizes (sendo adicionadas, multiplicadas, etc). Entender as operações sobre matrizes é essencial para o aprendizado de Álgebra Linear.
* Associativa em relação ao Escalar: <math>(k_1 \cdot k_2) \cdot A = k_1 \cdot (k_2 \cdot A)</math>
* Distributiva em relação ao Escalar: <math>(k_1 + k_2) \cdot A = k_1 \cdot A + k_2 \cdot A</math>
* Distributiva em relação à Matriz: <math>k_1 \cdot (A + B) = k_1 \cdot A + k_1 \cdot B</math>
* Elemento Neutro: <math>1 \cdot A = A</math>
 
Uma matriz é formada por '''linhas''', que são conjuntos de dados dispostos horizontalmente e por '''colunas''', conjuntos de dados dispostos verticalmente. Cada elemento presente em uma matriz é indicado por uma letra minúscula que possui como índice um [[w:Par ordenado|par ordenado]] que representa o número da linha e o da coluna. Costuma-se representar total de linhas de uma matriz pela letra '''m''' e o número total de colunas por '''n'''. Os valores de m e de n são as ''dimensões da matriz''.
==Adição de Matrizes==
 
[[Imagem:Matriz organizacao.png|frame|right|Organização de uma matriz]]
A adição de matrizes é outra operação bastante simples.
 
{{Definição|texto=
==Tipos Especiais de Matrizes==
Sempre que uma matriz A é somada à uma matriz B, o resultado será uma matriz C, cujos elementos <math>c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}</math>.
 
}}
* Uma '''Matriz Quadrada''' é toda aquela na qual <math>m = n</math>. Isto é, ela possui o mesmo número de linhas e de colunas.
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
* Uma '''Matriz Linha''' é toda aquela na qual <math>m = 1</math>. Isto é, ela possui apenas uma linha.
;Exemplo:
* Uma '''Matriz Coluna''' é toda aquela na qual <math>n = 1</math>. Isto é, ela possui apenas uma coluna.
* Uma '''Matriz Diagonal''' é toda aquela cujo elemento <math>A_{i,j} = 0</math> se <math>i \neq j</math>. Isto é, possui todos os valores iguais à zero, exceto os elementos da diagonal principal.
* Uma '''Matriz Escalar''' é toda aquela cujo elemento <math>A_{i,j} = 0</math> se <math>i \neq j</math> e <math>A_{i,j} = X</math>. Isto é, todos os valores são nulos, exceto os valores da diagonal principal que possuem sempre o mesmo valor.
* Uma '''Matriz Nula''' é toda aquela cujos elementos <math>A_{i,j} = 0</math>. Isto é, se todos os seus elementos forem nulos.
* Uma '''Matriz Identidade''' é toda aquela cujos elementos <math>A_{i,j} = 0</math> se <math>i \neq 0</math> e <math>A_{i,j} = 1</math> se <math>i = j</math>. Isto é, possui todos os valores nulos, exceto os valores da diagonal principal que valem sempre 1.
 
==Exemplos de Matrizes==
 
A matriz a seguir é uma matriz de '''ordem''' 2×3 com elementos [[Números naturais|naturais]].
 
<math>
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}
1 & 8 & -3 \\
4 & -2 & 5
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
5 & 6 & 5 \\
2 & 5 & 7
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1+5 & 8+6 & -3+5 \\
4+2 & -2+5 & 5+7
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
6 & 14 & 2 \\
6 & 3 & 12
\end{bmatrix}
</math>
}}
 
Nesse exemplo, o elemento <math>a_{12}</math> é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.
Perceba que a operação de soma para matrizes de diferentes dimensões não é definida.
 
De forma geral, numa matriz A de ''ordem'' m × n, o elemento <math>a_{ij}</math> é o símbolo na ''i''-ésima linha e ''j''-ésima coluna de A. Assim:.
A adição de matrizes possui as seguintes propriedades:
 
<math>
* Propriedade Associativa: <math>A + (B + C) = (A + B) + C</math>
A = \begin{bmatrix}
* Elemento Neutro: <math>A + 0 = 0 + A = 0</math> (<math>0</math> é uma Matriz Nula, não um escalar)
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
* Simétrico Aditivo: <math>-A + A = A - A = 0</math>
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
* Comutatividade: <math>A + B = B + A</math>
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
</math>
<br>
<br>
As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices ''i'' e ''j''. Por exemplo, <math>a_{ij} = i + j</math>, para <math>i</math> de 1 a 3 e <math>j</math> de 1 a 2, define a matriz 3×2 <math>A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5\end{bmatrix}</math>.
 
Abaixo, vemos o exemplo de uma Matriz Quadrada:
==Multiplicação de Matrizes==
 
<math>A = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 23 \\ 3 & 4 & 5\\ 4 & 1 & 9\end{bmatrix}</math>
'''Multiplicação''' de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita.
{{Definição|texto=
Se <math>A</math> é uma matriz ''m''×''n'' e <math>B</math> é uma matriz ''n''×''p'', então seu '''produto''' <math>AB</math> é a matriz ''m''×''p'' (''m'' linhas e ''p'' colunas) dada por:
:<math> (AB)_{i,j} = A_{i,1} B_{1,j} + A_{i,2} B_{2,j} + ... + A_{i,n} B_{n,j} \!\ </math> para cada par ''i'' e ''j''.
}}
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
;Exemplo:
: <math>
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & 1 \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
2 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
(1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0) \\
(-1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1) & (-1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0) \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 & 1 \\
4 & 2 \\
\end{bmatrix}
</math>
}}
 
E agora um exemplo de uma Matriz Identidade:
A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades:
 
* Associativa: <math>(A = \timesbegin{bmatrix} B)1 \times& C0 =& A0 \times\ (B0 & 1 & 0\\times C)0 & 0 & 1\end{bmatrix}</math>
* Distributiva em relação à Adição: <math>(A + B) \times C = A \times C + B \times C</math>
* Elemento Neutro: <math>A \times I = A</math> (onde <math>I</math> representa a Matriz Identidade de ordem <math>n</math>, onde <math>n</math> é o número de colunas de <math>A</math>)
 
==TransposiçãoNotas==
<!--
 
As informações que aparecem nesta seção são colocadas próximas das frases que apontam para cada nota, ou seja, ficam misturadas com o texto deste módulo.
{{Definição|texto=
Veja [http://pt.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Notas_de_rodapé] para uma explicação sobre como gerar notas de rodapé usando as tags <ref(erences/)>
A operação de transposição de uma matriz <math>A</math> retorna como resultado sempre um matriz <math>B</math> tal que, para todo elemento de <math>A</math> e <math>B</math>, <math>a_{ij} = b_{ji}</math>.
<math>B</math> é então dita a '''matriz transposta''' de <math>A</math>, denotada por <math>A^t</math>.
}}
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
;Exemplo:
 
<math>
\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
2 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}^t
=
\begin{bmatrix}
3 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
</math>
}}
 
-->
* O número de linhas da matriz transposta será igual ao número de colunas da matriz original, assim como o número de colunas da transposta será igual ao número de linhas da original. Ou seja, se <math>A</math> era <math>m \times n</math>, <math>A^t</math> será <math>n \times m</math>.
<references/>
* Cada coluna de <math>A</math> corresponderá a uma linha de <math>A^t</math>, e vice-versa.
 
[[Categoria:Álgebra linear|Algebra matricialM]]
[[en:Linear Algebra/Matrices]]