Álgebra linear/Matrizes: diferenças entre revisões
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__NOTOC__
{{Rdc}}
== Introdução ==
O termo ''matriz'' pode ser mais conhecido entre programadores e profissionais da [[w:informática|informática]], como sendo uma [[w:estrutura de dados|estrutura de dados]]. Em [[w:matemática|matemática]], no entanto, matrizes são consideradas de forma bastante diferente.
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Intuitivamente, uma '''matriz''' é uma ''[[w:lista|lista]] de números'', dispostos em ''linhas'' e ''colunas'', ou seja, é um ''tipo de [[w:tabela|tabela]]''.
</div></div>
Logo abaixo, apresenta-se uma matriz. A notação utilizada é bastante comum.
{{Wikipedia|Matriz (matemática)|Matriz}}
:<math> A = \begin{pmatrix}
2 & 4&10\\
1&-3&-7\\
3&0&0\\
5&5&0
\end{pmatrix}
</math>
A matriz acima tem 4 linhas e 3 colunas, então pode ser chamada de matriz 4 × 3 (matriz 4 por 3). Além disso, pode-se ter matrizes de muitas formas diferentes. A ''forma'' de uma matriz é o nome das dimensões da mesma (''m'' por ''n'', quando ''m'' é o número de linhas e ''n'' é o número de colunas). A seguir são indicados alguns outros exemplos de matrizes, adotando outras possíveis notações.
{{CaixaMsg|tipo=dica|style=width:50%; border:1px solid #aaa; float:right; clear:right; margin-left: 10px;|texto=
'''Para saber mais...'''
A ''teoria de matrizes'' estudada neste módulo está intimamente ligada com a ''[[../Sistemas de equações lineares|teoria de sistemas de equações lineares]]'' apresentada anteriormente. Os antigos chineses estabeleceram uma forma sistemática de resolver equações simultâneas. A ''teoria de equações simultâneas'' foi popularizada no oriente pelo matemático japonês [[w:Seki Kowa|Seki]] e, um pouco depois, por [[w:Gottfried Leibniz|Leibniz]], o maior rival de [[w:Isaac Newton|Newton]]. Posteriormente, [[w:Carl Friedrich Gauss|Gauss]], outro grande nome da matemática moderna, popularizou o uso de um algoritmo para a resolução de qualquer número de equações lineares simultâneas. Em sua homenagem, o processo passou a ser conhecido como [[eliminação gaussiana]]<ref name="Site1">Para saber mais sobre o surgimento das matrizes, pode ser consultado [http://www.ualr.edu/lasmoller/matrices.html este site].</ref>.
}}
Este é um exemplo de matriz 3 × 3:
:<math> B = \begin{pmatrix}
1&2&3\\
4&5&6\\
7&8&9\\
\end{pmatrix}
</math>
Esta matriz tem a forma 5 × 4:
:<math> T = \begin{
h&g&f&e\\
i&j&k&l\\
p&o&n&m\\
q&r&s&t\\
\end{pmatrix}
</math>
Aqui, tem-se uma matriz 1 × 6:
:<math> V = \begin{pmatrix}
2&3&5&7&11&13\\
\end{pmatrix}
</math>
As matrizes são ''objetos matemáticos'' que além de permitirem uma boa ''organização espacial'' de conjuntos de dados numéricos, podem ser ''operadas'' com números (''multiplicação por escalar'') e com outras matrizes (sendo adicionadas, multiplicadas, etc). Entender as operações sobre matrizes é essencial para o aprendizado de Álgebra Linear.
Uma matriz é formada por '''linhas''', que são conjuntos de dados dispostos horizontalmente e por '''colunas''', conjuntos de dados dispostos verticalmente. Cada elemento presente em uma matriz é indicado por uma letra minúscula que possui como índice um [[w:Par ordenado|par ordenado]] que representa o número da linha e o da coluna. Costuma-se representar total de linhas de uma matriz pela letra '''m''' e o número total de colunas por '''n'''. Os valores de m e de n são as ''dimensões da matriz''.
[[Imagem:Matriz organizacao.png|frame|right|Organização de uma matriz]]
==Tipos Especiais de Matrizes==
* Uma '''Matriz Quadrada''' é toda aquela na qual <math>m = n</math>. Isto é, ela possui o mesmo número de linhas e de colunas.
* Uma '''Matriz Linha''' é toda aquela na qual <math>m = 1</math>. Isto é, ela possui apenas uma linha.
* Uma '''Matriz Coluna''' é toda aquela na qual <math>n = 1</math>. Isto é, ela possui apenas uma coluna.
* Uma '''Matriz Diagonal''' é toda aquela cujo elemento <math>A_{i,j} = 0</math> se <math>i \neq j</math>. Isto é, possui todos os valores iguais à zero, exceto os elementos da diagonal principal.
* Uma '''Matriz Escalar''' é toda aquela cujo elemento <math>A_{i,j} = 0</math> se <math>i \neq j</math> e <math>A_{i,j} = X</math>. Isto é, todos os valores são nulos, exceto os valores da diagonal principal que possuem sempre o mesmo valor.
* Uma '''Matriz Nula''' é toda aquela cujos elementos <math>A_{i,j} = 0</math>. Isto é, se todos os seus elementos forem nulos.
* Uma '''Matriz Identidade''' é toda aquela cujos elementos <math>A_{i,j} = 0</math> se <math>i \neq 0</math> e <math>A_{i,j} = 1</math> se <math>i = j</math>. Isto é, possui todos os valores nulos, exceto os valores da diagonal principal que valem sempre 1.
==Exemplos de Matrizes==
A matriz a seguir é uma matriz de '''ordem''' 2×3 com elementos [[Números naturais|naturais]].
<math>
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}
</math>
Nesse exemplo, o elemento <math>a_{12}</math> é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.
De forma geral, numa matriz A de ''ordem'' m × n, o elemento <math>a_{ij}</math> é o símbolo na ''i''-ésima linha e ''j''-ésima coluna de A. Assim:.
<math>
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
</math>
<br>
<br>
As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices ''i'' e ''j''. Por exemplo, <math>a_{ij} = i + j</math>, para <math>i</math> de 1 a 3 e <math>j</math> de 1 a 2, define a matriz 3×2 <math>A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5\end{bmatrix}</math>.
Abaixo, vemos o exemplo de uma Matriz Quadrada:
<math>A = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 23 \\ 3 & 4 & 5\\ 4 & 1 & 9\end{bmatrix}</math>
E agora um exemplo de uma Matriz Identidade:
==
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As informações que aparecem nesta seção são colocadas próximas das frases que apontam para cada nota, ou seja, ficam misturadas com o texto deste módulo.
Veja [http://pt.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Notas_de_rodapé] para uma explicação sobre como gerar notas de rodapé usando as tags <ref(erences/)>
-->
<references/>
[[Categoria:Álgebra linear|
[[en:Linear Algebra/Matrices]]
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