Álgebra linear/Matrizes: diferenças entre revisões
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Abaixo seguem informações sobre as principais operações definidas para matrizes. Abaixo matrizes serão representadas por letras maiúsculas e seus índices por letras minúsculas. Números escalares serão representados pela letra <math>k</math>.
==Multiplicação por um escalar==
A multiplicação é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes.
{{Definição|texto=
Para multiplicar um número <math>k</math> qualquer por uma matriz n×m <math>A</math>, basta multiplicar cada entrada <math>a_{ij}</math> de <math>A</math> por <math>k</math>. Assim, a matriz resultante <math>B</math> será também n×m e <math>b_{ij} = k \cdot a_{ij}</math>.
}}
Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
;Exemplo:
: <math>2
1 & -5 & 3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2\times 9 & 2\times 1 & 2\times (-2) \\
2\times 1 & 2\times (-5) & 2\times 3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
18 & 2 & -4 \\
2 & -10 & 6
\end{bmatrix}
</math>
}}
É impossível somar ou subtrair escalares de matrizes.
A multiplicação por escalar possui as seguintes propriedades:
* Associativa em relação ao Escalar: <math>(k_1 \cdot k_2) \cdot A = k_1 \cdot (k_2 \cdot A)</math>
* Distributiva em relação ao Escalar: <math>(k_1 + k_2) \cdot A = k_1 \cdot A + k_2 \cdot A</math>
* Distributiva em relação à Matriz: <math>k_1 \cdot (A + B) = k_1 \cdot A + k_1 \cdot B</math>
* Elemento Neutro: <math>1 \cdot A = A</math>
==Adição de Matrizes==
A adição de matrizes é outra operação bastante simples.
{{Definição|texto=
Sempre que uma matriz A é somada à uma matriz B, o resultado será uma matriz C, cujos elementos <math>c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}</math>.
}}
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
;Exemplo:
<math>
1 & 4 & \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
5 & 6 & 5 \\
2 & 5 & 7
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1+5 & 8+6 & -3+5 \\
4+2 & -2+5 & 5+7
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
6 & 14 & 2 \\
6 & 3 & 12
\end{bmatrix}
</math>
}}
Perceba que a operação de soma para matrizes de diferentes dimensões não é definida.
A adição de matrizes possui as seguintes propriedades:
* Propriedade Associativa: <math>A + (B + C) = (A + B) + C</math>
* Elemento Neutro: <math>A + 0 = 0 + A = 0</math> (<math>0</math> é uma Matriz Nula, não um escalar)
* Simétrico Aditivo: <math>-A + A = A - A = 0</math>
* Comutatividade: <math>A + B = B + A</math>
==Multiplicação de Matrizes==
'''Multiplicação''' de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita.
{{Definição|texto=
Se <math>A</math> é uma matriz ''m''×''n'' e <math>B</math> é uma matriz ''n''×''p'', então seu '''produto''' <math>AB</math> é a matriz ''m''×''p'' (''m'' linhas e ''p'' colunas) dada por:
:<math> (AB)_{i,j} = A_{i,1} B_{1,j} + A_{i,2} B_{2,j} + ... + A_{i,n} B_{n,j} \!\ </math> para cada par ''i'' e ''j''.
}}
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
;Exemplo:
: <math>
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & 1 \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
2 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
(1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0) \\
(-1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1) & (-1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0) \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 & 1 \\
4 & 2 \\
\end{bmatrix}
</math>
}}
A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades:
* Associativa: <math>(A
* Distributiva em relação à Adição: <math>(A + B) \times C = A \times C + B \times C</math>
* Elemento Neutro: <math>A \times I = A</math> (onde <math>I</math> representa a Matriz Identidade de ordem <math>n</math>, onde <math>n</math> é o número de colunas de <math>A</math>)
==
{{Definição|texto=
A operação de transposição de uma matriz <math>A</math> retorna como resultado sempre um matriz <math>B</math> tal que, para todo elemento de <math>A</math> e <math>B</math>, <math>a_{ij} = b_{ji}</math>.
<math>B</math> é então dita a '''matriz transposta''' de <math>A</math>, denotada por <math>A^t</math>.
}}
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
;Exemplo:
<math>
\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
2 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}^t
=
\begin{bmatrix}
3 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
</math>
}}
* O número de linhas da matriz transposta será igual ao número de colunas da matriz original, assim como o número de colunas da transposta será igual ao número de linhas da original. Ou seja, se <math>A</math> era <math>m \times n</math>, <math>A^t</math> será <math>n \times m</math>.
* Cada coluna de <math>A</math> corresponderá a uma linha de <math>A^t</math>, e vice-versa.
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}}
[[Categoria:Álgebra linear|
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