Teoria de números/Equações diofantinas: diferenças entre revisões
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Linha 243:
:* <math>x^2=(2a+1)^2 = 4a^2 + 4a + 1\,\!</math> e
:* <math>x^2=(2b+1)^2 = 4b^2 + 4b + 1\,\!</math>
:Donde:
:* <math>x^2 + y^2=(2b+1)^2 = (4a^2 + 4a + 1) + (4b^2 + 4b + 1) = 4k + 2\,\!</math>
:Ou seja, a soma dos quadrados de <math>x\,\!</math> e <math>y\,\!</math> seria par, mas pertenceria a <math>4\mathbb{Z}\,\!</math>.
:No entanto, sempre que <math>z^2\,\!</math> é par, tem-se <math>z\,\!</math> par e consequentemente <math>z^2\in 4\mathbb{Z}\,\!</math>.
:Logo, quando <math>x, y\,\!</math> são ambos ímpares, a soma de seus quadrados não pode ser um quadrado perfeito.
Segue que dos inteiros <math>x, y\,\!</math>, um é ímpar e outro é par. Sem perda de generalidade, pode-se supor que <math>x\,\!</math> é par e <math>y\,\!</math> é ímpar.
Uma outra forma de escrever a equação original é:
:<math>x^2 = z^2 - y^2 = (z+y)(z-y)\,\!</math>
A partir daí, pode-se deduzir outras informações sobre os inteiros que a satisfazem. Acompanhe:
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