Diferenças entre edições de "Teoria de números/Equações diofantinas"

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:Donde:
:* <math>x^2 + y^2=(2b+1)^2 = (4a^2 + 4a + 1) + (4b^2 + 4b + 1) = 4k + 2\,\!</math>
:Ou seja, a soma dos quadrados de <math>x\,\!</math> e <math>y\,\!</math> seria par, mas não pertenceria a <math>4\mathbb{Z}\,\!</math>.
:No entanto, sempre que <math>z^2\,\!</math> é par, tem-se <math>z\,\!</math> par e consequentemente <math>z^2\in 4\mathbb{Z}\,\!</math>.
:Logo, quando <math>x, y\,\!</math> são ambos ímpares, a soma de seus quadrados não pode ser um quadrado perfeito.
:<math>x^2 = z^2 - y^2 = (z+y)(z-y)\,\!</math>
 
A partir daí, pode-se deduzir outras informações sobre os inteiros que a satisfazem. AcompanhePor exemplo, <math>(z+y, z-y) = 1\,\!</math>, pois:
:<math>d|z+y, z-y \Rightarrow d|2z, 2y \Rightarrow d|2\,\!</math>
A segunda implicação vale pois <math>(z,y) = 1\,\!</math>. Logo, <math>d \le 2\,\!</math>.
 
Mas não pode ocorrer <math>d=2\,\!</math>, senão:
:<math>2|x+y\,\!</math>
e como <math>y\,\!</math> é par, <math>z\,\!</math> também seria, coisa que não é possível já que <math>(z,y) = 1\,\!</math>.
 
Assim, o quadrado perfeito <math>x^2\,\!</math> é o produto de dois números primos entre si. Disso decorre que cada um deles deve ser um quadrado perfeito (veja o [[#Exercícios|exercício 1]]), ou seja:
 
:<math>\left\{\begin{matrix}
z+y & = & u^2\\
z-y & = & v^2
\end{matrix}\right.\,\!</math>
 
que equivale a:
:<math>\left\{\begin{matrix}
2z & = & u^2 + v^2\\
2y & = & u^2 - v^2
\end{matrix}\right.\,\!</math>
 
Portanto, quando três números inteiros primos entre si (e não todos nulos) satizfazem a equação:
:<math>x^2 + y^2 = z^2\,\!</math>
devem existir inteiros <math>u,v\,\!</math>, ímpares e primos entre si, tais que <math>u>v\,\!</math> e:
:<math>\left\{\begin{matrix}
x & = & uv\\
y & = & \frac{u^2 - v^2}{2}\\
z & = & \frac{u^2 + v^2}{2}
\end{matrix}\right.\,\!</math>
 
Claramente, para quaisquer inteiros <math>u, v\,\!</math>, os valores de <math>x, y, z\,\!</math> obtidos pelas fórmulas acima são ternos pitagóricos, pois:
:<math>(uv)^2 + (\frac{u^2 - v^2}{2})^2 = \frac{2u^2v^2 + (u^2 - v^2)^2}{2} = \frac{u^2 + v^2}{2}\,\!</math>
 
 
 
== Exercícios ==
# Mostre que se <math>a^2 = b\cdot c\,\!</math>, com <math>b, c\,\!</math> primos entre si, então <math>b, c\,\!</math> são quadrados perfeitos.
 
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