Teoria de números/Equações diofantinas: diferenças entre revisões
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Linha 332:
\end{matrix}\right.\,\!</math>
Tal fórmula é equivalente àquela deduzida anteriormente, como se pode verificar facilmente
{{Demonstração|
De fato, foi mostrado que se <math>x^2 + y^2 = z^2\,\!</math>, com <math>(x,y,z)=1\,\!</math> então <math>x,y\,\!</math> não têm a mesma paridade. Adimitindo que <math>x\,\!</math> seja ímpar e que <math>y\,\!</math> seja par, conclui-se que <math>z\,\!</math> é impar e portanto:
:<math>y^2 = z^2 - x^2 = (z+x)(z-x)\,\!</math>
Mas é verdade que <math>(z+x,z-x)=2\,\!</math>, pois a soma e a diferença de dois números ímpares são números pares.
Donde
:<math>\left\{\begin{matrix}
z+x & = & 2a^2\\
z-x & = & 2b^2\\
\end{matrix}\right.\,\!</math>
que é equivalente a:
:<math>\left\{\begin{matrix}
z & = & a^2 + b^2\\
x & = & a^2 - b^2\\
\end{matrix}\right.\,\!</math>
sendo que <math>(a,b) = 1\,\!</math>
Disso se conclui também que:
:<math>y = 2ab\,\!</math>
}}
== Exercícios ==
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