Probabilidade e Estatística/Análise combinatória: diferenças entre revisões
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==Análise Combinatória==
===Princípio da Adição===▼
===Princípios básicos de contagem===
===Princípio da Multiplicação===▼
▲====Princípio da Adição====
Suponhamos um procedimento executado em <math> k \!\;</math> fases. A fase 1 tem <math> n_1 \!\;</math> maneiras de ser executada, a fase 2 possui <math> n_2 \!\;</math> maneiras de ser executada e a fase <math> k \!\;</math> tem <math> n_k \!\;</math> modos de ser executada. As fases são excludentes entre si, ou seja, não é possível que duas ou mais das fases sejam realizadas em conjunto. Logo, todo o procedimento tem <math> n_1 + n_2 + ... + n_k \!\;</math> maneiras de ser realizado.
'''Exemplo'''
Deseja-se fazer uma viagem para a cidade A ou para a cidade B. Existem 5 caminhos possíveis para a cidade A e 3 possíveis caminhos para a cidade B. Logo, para esta viagem, existem no total 5 + 3 = 8 caminhos possíveis.
▲====Princípio da Multiplicação====
Suponhamos um procedimento executado em <math> k \!\;</math> fases, concomitantes entre si. A fase 1 tem <math> n_1 \!\;</math> maneiras de ser executada, a fase 2 possui <math> n_2 \!\;</math> maneiras de ser executada e a fase <math> k \!\;</math> tem <math> n_k \!\;</math> modos de ser executada. A fase 1 poderá ser seguida da fase 2 até a fase k, uma vez que são concomitantes. Logo, há <math> n_1 \cdot n_2 \cdot ... n_k \!\;</math> nabeiras de executar o procedimento.
'''Exemplo'''
Supondo uma viagem para a cidade C, mas para chegar até lá você deve passar pelas cidades A e B. Da sua cidade até a cidade A existem 2 caminhos possíveis; da cidade A até a B existem 4 caminhos disponíveis e da cidade B até a C há 3 rotas possíveis. Portanto, há 2 x 4 x 3 = 24 diferentes caminhos possíveis de ida da sua cidade até a cidade C.
Os princípios enunciados acima são bastante intuitivos. Contudo, apresentaremos ainda alguns exemplos um pouco mais complexos de aplicação.
* '''Quantos números naturais pares de três algarismos distintos podemos formar?'''
Inicialmente, devemos observar que não podemos colocar o zero como primeiro algarismo do número. Como os números devem ser pares, existem apenas 5 formas de escrever o último algarismo <math>\left ( 0, 2, 4, 6, 8 \right ) \!\;</math>. Contudo, se colocamos o zero como último algarismo do número, nossas escolhas para distribuição dos algarismos mudam. Portanto, podemos pensar na construção desse número como um processo composto de 2 fases excludentes entre si.
Fixando o zero como último algarismo do número, temos as seguintes possibilidades de escrever os demais algarismos:
- 1º algarismo: 9 possibilidades <math>\left ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \right ) \!\;</math>;
- 2º algarismo: 8 possibilidades <math>\left ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \right ) \!\;</math>, porém excluímos a escolha feita para o 1º algarismo;
- 3º algarismo: 1 possibilidade (fixamos o zero).
Logo, há 9 x 8 x 1 = 72 formas de escrever um número de três algarismos distintos tendo o zero como último algarismo.
Sem fixar o zero, temos:
-3º algarismo: 4 possibilidades <math>\left ( 2, 4, 6, 8 \right ) \!\;</math>
-1º algarismo: 8 possibilidades <math>\left ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \right ) \!\;</math>, excluindo a escolha feita para o último algarismo;
-2º algarismo: 8 possibilidades <math>\left ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \right ) \!\;</math>, porém excluindo as escolhas feitas para o primeiro e último algarismos.
Portanto, temos 8 x 8 x 4 = 256 maneiras de escrever um número de três algarismos distintos sem zero no último algarismo.
Ao todo, temos 75 + 256 = 328 formas de escrever o número.
===Permutação Simples===
===Arranjo===
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