Análise real/Convergência pontual: diferenças entre revisões
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Nova página: ==Definição== Seja <math>D\in\mathbb{R}</math> um conjunto e <math>f_n:D\to\mathbb{R}\,</math> uma seqüência de funções reais definidas no domínio <math>D\,</math>. Diz que <ma... |
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Linha 5:
*<math>\forall x\in D \lim_{n\to\infty}f_n(x) = f(x)\,</math>
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===Exemplo 1===
Seja a seguinte seqüência de funções:
* <math>f_n(x)= \frac{x}{n}, ~x\in\mathbb{R}, ~~ n=1,2,3,\ldots\,</math>
É fácil ver que:
* <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0</math>
===Exemplo 2===
Deve-se observar que o limite pontual de funções contínuas não é necessariamente uma função contínua. Um exemplo deste fenômeno pode ser observado na seguinte seqüência de funções:
* <math>f_n(x)= \frac{1}{1+|x|^n}, ~x\in\mathbb{R}, ~~ n=1,2,3,\ldots\,</math>
cujo limite é dado por:
* <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)\left\{
\begin{array}{rl}
1,&|x|<1\\
1/2,&|x|=1\\
0,&|x|>1
\end{array}
\right.</math>
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