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Esta construção dos números naturais obviamente satisfaz os três primeiros axiomas de Peano. O fato de S<sub>x</sub> = S<sub>y</sub> <math>\implies</math> x = y pode ser visto facilmente pelo fato de que <math>x\cup\{x\}=y\cup\{y\} \implies x=y</math>. O quinto axioma de Peano detém porque se <math>\empty\in A\and\left(\forall x\in A\ x\cup\{x\}\in A\right)</math>, então este seria definido como sendo os números naturais e, por isso, o natural seria um número trivial do subconjunto A.
==Inteiros==
Se nós estendermos <math>\mathbb N</math> acrescentando <math>0</math> podemos chegar a noção de uma
* '''identidade para a adição''', dada por:
**<math>\exists 0:\forall n\in\mathbb{N},\ n+0=n</math>
*:Afirmando que existe um número 0, que somado a um número natural dá o próprio número.
Aqui temos uma escolha a fazer, onde em nossa ordenação se encaixa o <math>0</math>? A escolha usual é 0 < 1 e é o que vamos fazer aqui, mas vale a pena salientar a curiosa natureza desta escolha. Tendo definido zero, a possibilidade de uma inversão de <math>\mathbb{N}</math> surge, que denota o conjunto de inversas como <math>\mathbb{-N}</math> satisfazendo o seguinte axioma.
* '''Inverso Aditivo'''
*:<math>\forall n\in\mathbb{N},\ \exists (-n)\in\mathbb{-N}:n+(-n)=0</math>.
Combinando os três obtemos os inteiros <math>\mathbb{Z}=\{\mathbb{N}\}\cup\{0\}\cup\{\mathbb{-N}\}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}</math>. Os inteiros nos permitem acompanhar as dívidas, bem como contar as coisas, em outras palavras, para realizar contagem.
Se você assumir que os axiomas estão '''[http://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_da_boa-ordena%C3%A7%C3%A3o bem ordenados]''' assumindo a forma
* <math>(\forall z\in\mathbb{Z})(\forall n\in\mathbb{N}),\ z<z+n</math>.
E que a identidade, fechamento e distributividade da multiplicação para segurar os inteiros <math>\mathbb{Z}</math> então a operação multiplicação também pode ser expandida para incluir todos os inteiros <math>\mathbb{Z}</math>
Eles podem ser construídos facilmente a partir dos números naturais. Eles podem ser cada classe de equivalência de pares ordenados (a, b) onde a e b são dois números naturais. Em seguida, pode-se dizer que (a, b) e (c, d) são iguais quando a + d = b + c, a soma (a, b) + (c, d) = (a + c, d + b). E o produto (a, b)(c, d) = (ac + bd, ad + bc), onde as definições da soma e produto de números naturais são utilizados. Existe uma identidade aditiva(elemento) na forma (a, a) porque (a, a) + (b, c) = (a + b, a + c), o que é equivalente a (b, c) porque a + b + c = a + b + c. Todos estes elementos da forma (a, a) são obviamente equivalentes. Todos os elementos (a, b) tem um inverso aditivo (b, a) porque (a, b) + (b, a) = (a + b, a + b). A melhor maneira de pensar destes pares ordenados (a, b) é de pensar como eles a-b. Assim, (a, a) podem ser consideradas como "0".
===Valor absoluto===
Normalmente, nós pensamos nos inteiros como uma extensão para positivos e negativos infinito. Uma vez que este conceito geométrico é tão fundamental para a nossa compreensão, nós gostaríamos de falar sobre propriedades geométricas. Em particular, nós precisamos saber o que se entende pela distância entre dois inteiros. Para este fim, definimos o símbolo | x | como a função dá distância de zero por mapeamento <math>\mathbb{-N}</math> para seus respectivos inverses em <math>\mathbb{N}</math> e mapeamento zero para si.
:<math> |x| =\left\{\begin{matrix}x & \mbox{se }x \geq 0\\-x & \mbox{se }x < 0 \\\end{matrix}\right.</math>
Podemos definir agora a distância entre dois inteiros, a que chamamos pontos geométrica em qualquer contexto, tomando o valor absoluto da sua diferença: <math>d(x,y) = |x-y|\ </math>. Esta função distância satisfaz algumas propriedades geométricas:
# Positividade
#:<math>d(x,y) \geq 0</math> e é igual a 0 se <math>x=y</math>.
# Simetria
#:<math>d(x,y)=d(y,x)\ </math>
# Desigualdade triangular
#:<math>d(x,y) + d(y,z) \geq d(x,z)</math>
#: Preste bastante atenção a desigualdade triangular, uma vez que será utilizado frequentemente em capítulos posteriores.
Em geral, qualquer conjunto com uma função distância satisfazendo essas propriedades é chamado um espaço métrico. É fácil demonstrar que os inteiros formam um espaço métrico sob a métrica d:
# Positividade
#* Se <math>x \geq 0</math>, then <math>|x| = x \geq 0 </math>.
#* Se <math>x < 0\ </math>, then <math>|x| = -x\ > 0 </math>.
# Simetria
#* Se <math>x - y \geq 0</math>, então <math>y - x \leq 0</math>, também <math>|x- y| = x - y = -(y-x) = |y-x|\ </math>.
#* Se <math>x - y\ < 0</math>, então <math>y - x > 0\ </math>, também <math>|x- y| = -(x-y) = y-x = |y-x|\ </math>.
# Desigualdade Triângular
#* Se <math>x \geq 0</math>, então <math>|x| = x \geq 0 > -|x|</math>.
#* Se <math>x < 0\ </math>, então <math>|x| > 0 > x = -|x|\ </math>.
#* Isto dá-nos <math>-|x| \leq x \leq |x|</math> e <math>-|y| \leq y \leq |y|</math>.
#* Adicionando, vemos que <math>-(|x|+|y|) \leq x + y \leq |x| + |y|</math>.
#* Se <math>x+y \geq 0</math>, then <math>|x + y| = x + y \leq |x| + |y|</math>.
#* Se <math>x + y < 0\ </math>, then <math>|x + y| = -(x+y) \leq |x| + |y|</math>.
#* Assim, em todos os casos <math>|x+y| \leq |x| + |y|</math>.
#* Trocando <math>x\ </math> with <math>x-y\ </math> and <math>y\ </math> with <math>y-z\ </math> yields <math>|x - y| + |y - z| \geq |x - z|</math>.
Outra propriedade fundamental do valor absoluto é que é multiplicativo:
* <math>|x||y| = |xy|\ </math>
A prova é deixada como um exercício. Tal como referido, é simplesmente uma questão de verificar todos os casos.
=== Grupo Aditivo dos Inteiros (Z,+) ===
O conjunto dos inteiros <math>\mathbb{Z}</math> e a operação de adição <math>+\ </math> formam um grupo e a multiplicação carece de inversas. Se permitirmos que a multiplicação e a adição operem nos <math>\mathbb{Z}</math>, nós poderemos definir um conjunto onde todo elemento, exceto o zero, tem um inverso multiplicativo. Este é o conjunto de números racionais.
==Numeros Racionais==
A próxima extensão padrão adiciona a possibilidade de ''quocientes'' ou ''divisão'', e dá-nos os ''números racionais''(ou apenas ''racionais'') <math>\mathbb Q</math>, Que inclui o inverso multiplicativo de <math>\mathbb{Z}\setminus\{0\}</math> da forma <math>\frac{1}{z}</math> frações como a <math>\frac{1}{2}</math>, bem como produtos dos dois conjuntos a partir de <math>\frac{z_1}{z_2}</math>, como <math>\frac{64}{7}, \frac{17}{16\times 10^5}</math>. Os racionais nos permitem usar precisão arbitrária, e eles são suficientes para ''medição''.
Os números racionais podem ser construídos a partir dos inteiros como classe de equivalência de pares ordenados(a, b) de inteiros tal que (a, b) e (c, d) são equivalentes quando ad = bc usando a definição de multiplicação de inteiros. Estes pares ordenados são, é claro, comumente escrita <math>\tfrac{a}{b}</math>. Pode-se definir adição como (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) e multiplicação como (ac, bd); todos usando a definição de adição e multiplicação de inteiros.
== {{Ver também}} ==
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