Análise real/Equivalências entre corpos ordenados arquimedianos: diferenças entre revisões

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Nova página: === Definição (Partição) === <math>(A_1,A_2,...,A_n)</math> é partição de <math>\Omega</math> se, <math>\Omega = \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n} A_i</math> e <math>A_i \cap A...
 
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'''7)'''<math>\mathbb{K}</math> é seqüêncialmente completo, isto é, se (x_n)_{n \in \mathbb{N}} é uma seqüência em <math>\mathbb{K}</math> de Cauchy então (x_n) é convergente.
 
==== Demonstração ====
 
As equivalências <math>N \Leftrightarrow N'</math> são evidentes e serão deixadas como exercício.
 
'''1)''' <math>\Rightarrow</math> '''2)'''
 
Seja A nas condições de '''2)''', vamos mostrar que A tem supremo.
 
Como A \not= \emptyset, podemos pegar a_0 \in A e como A é limitado superiormente, existe b_0 \in \mathbb{K} majorante de A.
 
Seja c_1 = (a_0 + b_0)/2, se c_1 for majorante de A, então definimos b_1 = c_1, e a_1 = a_0 e caso c_0 não seja majorante de A, definimos a_1 = c_1 e b_1 = b_0.
 
Suponha que a_{k-1} e b_{k-1} estejam definidas, c_k = (a_{k-1} + b_{k-1})/2, se c_k for majorante de A, então definimos b_k = c_k, e a_k = a_{k-1} e caso c_k não seja majorante de A, definimos a_k = c_k e b_k = b_{k-1}.
 
Definimos duas seqüências (a_n)_{n\in\mathbb{N}} e (b_n)_{n\in\mathbb{N}} que formam, respectivamente, uma seqüência monótona não-decrescente e uma seqüência monótona não-crescente. Claramente a_0 é um limitante inferior de (b_n) e b_0 é um limitante superior de (a_n), e por '''1)'', concluimos que ambas seqüências são convergentes.
 
Sejam a = \lim a_n e b = \lim b_n.
 
Suponha, por absurdo que a > b, então a - b > 0, tomando \epsilon = a - b, como (a_n) \rightarrow, existe n_0 \in \mathbb{N} tal que a - \epsilon < a_{n_0} < a + \epsilon \Rightarrow a - (a - b) < a_{n_0} < a + (a - b) \Rightarrow b < a_n_0. Portanto b - a_{n_0} > 0, como (b_n) \rightarrow b, definindo \epsilon' = b - a_{n_0}, existe n_1 \in \mathbb{N} tal que, b - \epsilon < b_{n_1} < b + \epsilon \Rightarrow b - (b - a_{n_0}) < b_{n_1} < b + (b - a_{n_0}) \Rightarrow a_n_0 < b_{n_1}. Absurdo, pois isso contradiz nossa construção de (a_n) e (b_n).
 
Por construção, temos a_n \leq a \leq b \leq b_n, para todo n natural.