Teoria de números/Congruências: diferenças entre revisões
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+texto; +quadro para biografia do Gauss |
+demonstração: →A unicidade do resto no algoritmo da divisão |
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Linha 49:
:<math>\rho (a,m) = a \!\!\!\!\pmod{m} \,\!</math>
A prova pode ser feita da seguinte maneira:
{{demonstração|
Seja <math>a = mq+r = mq'+r' \,\!</math>, com <math>0\le r <m\,\!</math> e <math>0\le r' <m\,\!</math>. Nestas condições, tem-se:
:<math>0 = m(q-q') + (r-r')\,\!</math>, ou seja, <math>r-r' \in m\mathbb{Z}\,\!</math>
Por outro lado, como o valor de cada resto está entre <math>0\,\!</math> e <math>m\,\!</math>, sua diferença também está. Isto significa que:
:<math>r'-r\le r' < m \,\!</math>
:<math>r-r'\le r < m \,\!</math>
Logo,
:<math>|r'-r| < m \,\!</math>
Mas o único elemento de <math>m\mathbb{Z}\,\!</math> com módulo menor que <math>m\,\!</math> é o <math>0\,\!</math>. Assim, <math>r'-r = 0\,\!</math> implica <math>r'= r\,\!</math>.
}}
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