Teoria de números/Congruências: diferenças entre revisões
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+demonstração: →A unicidade do resto no algoritmo da divisão |
→A congruência vista como uma relação: (de equivalência) |
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:<math>k \equiv 1\!\!\!\!\pmod{2} \Rightarrow k^2 \equiv 1\!\!\!\!\pmod{4} \,\!</math>
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
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}}
== A congruência vista como uma relação ==
A partir da noção de congruência módulo um certo inteiro <math>m\,\!</math>, pode-se definir uma relação no conjunto dos números inteiros da seguinte forma:
:<math>x \sim y \Leftrightarrow x \equiv y \!\!\!\!\pmod{m}\,\!</math>
Como será mostrado logo a diante, a relação assim definida satisfaz as propriedades de [[w:reflexividade|reflexividade]], [[w:simetria|simetria]], [[w:transitividade|transitividade]], sendo por isso considerada uma [[w:relação de equivalência|relação de equivalência]]:
# <math>\forall x, x \equiv x \!\!\!\!\pmod{m}\,\!</math>
# <math>x \equiv y \!\!\!\!\pmod{m} \Rightarrow y \equiv x \!\!\!\!\pmod{m} \,\!</math>
# <math>x \equiv y \!\!\!\!\pmod{m} \and y \equiv z \!\!\!\!\pmod{m} \Rightarrow x \equiv z \!\!\!\!\pmod{m} \,\!</math>
De modo geral, é sempre possível definir uma relação de equivalência sobre um conjunto <math>X\,\!</math> a partir de uma função cujo domínio seja <math>X\,\!</math>. De fato, se for definido que:
:<math>x \sim y \Leftrightarrow f(x) = f(y)\,\!</math>
então <math>\sim\,\!</math> será uma relação de equivalência, pois:
# <math>\forall x, f(x) \sim f(x)\,\!</math>
# <math>f(x)=f(y) \Rightarrow f(y)=f(x) \,\!</math>
# <math>f(x)=f(y) \and f(y) = f(z) \Rightarrow f(y) = f(x) \,\!</math>
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