Teoria de números/Congruências: diferenças entre revisões
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== A congruência vista como uma relação de equivalência ==
A partir da noção de congruência módulo um certo inteiro <math>m\,\!</math>, pode-se definir uma relação no conjunto dos números inteiros da seguinte forma:
:<math>x \sim y \Leftrightarrow x \equiv y \!\!\!\!\pmod{m}\,\!</math>
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:<math>ab \equiv a'b' \!\!\!\!\pmod{m}\,\!</math>
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== O anel das classes de congruência==
[[Image:Set partition.svg|right|thumb|Uma relação de equivalência particiona um conjunto em vários subconjuntos disjuntos, chamadas classes de equivalência.]]
Sempre que se tem uma relação de equivalência <math>\sim\,\!</math> sobre um conjunto <math>X\,\!</math> é possível definir uma partição <math>P\,\!</math> de tal conjunto. Uma coleção <math>P\,\!</math> de subconjuntos de <math>X\,\!</math> é chamada de '''partição de <math>X\,\!</math>''' se todo elemento de <math>X\,\!</math> pertence a exatamente um elemento de <math>P\,\!</math>. Os elementos de <math>P\,\!</math> são disjuntos dois a dois, e sua união é o próprio conjunto <math>X\,\!</math>.
Para definir uma partição de <math>\mathbb{Z}\,\!</math>, usando a congruência módulo <math>m\,\!</math>, primeiramente define-se para cada inteiro <math>a\,\!</math> a classe de equivalência de <math>a\,\!</math>, segundo <math>\sim\,\!</math>, como:
:<math>[a]_m = \{ x \in \mathbb{Z}; x \equiv a \!\!\!\!\pmod{m}\}\,\!</math>
Quando o inteiro <math>m\,\!</math> estiver subentendido, será utilizado apenas <math>[a]\,\!</math> para denotar <math>[a]_m\,\!</math>.
Nesses termos, o quociente de <math>\mathbb{Z}\,\!</math> pela relação <math>\equiv \!\!\!\!\pmod{m}\,\!</math> é a partição dada por:
:<math>\mathbb{Z}/_{\equiv \!\!\!\!\pmod{m}} = \{[a]_m; a \in \mathbb{Z}\}\,\!</math>
Por simplicidade, denota-se <math>\mathbb{Z}/_{\equiv \!\!\!\!\pmod{m}}\,\!</math> simplesmente como <math>\mathbb{Z}_m\,\!</math>.
== Exercícios ==
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